El papel de los campos ciclotómicos en la teoría de números (Conferencia Invitada de Miscelánea Matemática en Teoría de Números)

Autor: Gabriel Daniel Villa Salvador
Un campo ciclotómico es el campo que contiene a todas las raíces del polinomio racional $x^n-1$ con $n$ un número natural. Por inocente que parezca esta ecuación y sus campos de descomposición, es decir, los campos ciclotómicos, son culpables en gran parte de la llamada teoría de campos de clase, las extensiones abelianas de los números racionales, de la obtención de los primos que aparecen en las las progresiones aritméticas, están relacionados con el último teorema de Fermat, de que algunos de nosotros tengamos trabajo, etc. Más precisamente, estos campos son los culpables de la demostración de los primeros casos del famoso último teorema de Fermat. Nos dice por que existen una infinidad de números primos distintos en progresiones aritméticas del tipo $a+bn$, con $a,b$ números naturales primos relativos dados y $n$ recorre el conjunto de los números primos (Teorema de Dirichlet), nos describe como son todas las extensiones abelianas de ${\Bbb Q}$, el campo de los números racionales (Teorema de Kronecker--Weber) y muchas otras cosas más. En esta plática estudiaremos como se presentan algunos de los hechos que se mencionan en el párrafo anterior, y describiremos algunas de las propiedades de estos campos.