Teoría de representaciones y operadores de Toeplitz

Autor: Raúl Quíroga Barranco
Sea D un dominios simétrico acotado y G su grupo de bihilomorfismos. Con estos datos podemos considerar dos lineas de estudio dentro de análisis. En primer lugar, sobre D se cuenta con espacios de funciones holomorfas cuadrado integrables (respecto de la medida de Lebesgue o de medidas obtenidas mediante un peso). Estos forman un espacio cerrado del correspondiente espacio de Hilbert de todas las funciones cuadrado integrables. Tales espacios de funciones holomorfas se conocen como espacios de Bergman y soportan los llamados operadores de Toeplitz. Estos últimos se definen como la multiplicación de una funcion medible acotada (símbolo) seguida de la proyección ortogonal al espacio de Bergman. A pesar de la complejidad de tales operadores respecto de sus símbolos, desde hace algunas decadas se sabe de la existencia de C*-álgebras conmutativas no triviales generadas por operadores de Toeplitz. Por otro lado, el grupo G posee representaciones unitarias sobre los espacios de Bergman que de hecho definen representaciones irreducibles orginalmente estudiadas por Harish-Chandra. Además es bien sabido que para ciertos subgrupos H de G es posible exhibir la descomposición como integral de directa de irreducibles de la restricción de la representación de G a H. En algunos casos notables tales restricciones son libres de multiplicidad respecto de sus componentes irreducibles. En esta pláitca describiremos los anteriores ingredientes y veremos que están fuertemente relacionados.