Homología Relativa de Grupos

Autor: José Antonio Arciniega Nevárez
En la literatura, hemos distinguido dos tipos de homología relativa de grupos: una definida por Mauris Auslander y W.S. Massey en trabajos independientes y la otra definida por Iain T. Adamson. Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo (no necesariamente normal). Auslander y Massey definieron la homología relativa de grupos como la homología de la pareja topológica $(BG,BH)$, donde $BG$ es el espacio clasificante del grupo $G$ y $BH$ se considera como un subespacio de $BG$. Satoru Takasu desarrolló esta homología usando métodos del álgebra homológica. Sean $G/H$ el conjunto de clases laterales y $C_{*}(G/H)$ el conjunto simplicial con $n$-simplejos de la forma $(g_{0}H,\cdots g_{n}H)$. La homología relativa definida por Adamson es la homología del complejo $C_{*}(G/H)\otimes \Z$. Hochschild estudió y desarrolló las ideas de Adamson usando métodos del álgebra homológica. En un trabajo conjunto con el Dr. Cisneros-Molina, dimos una definición de esta teoría usando espacios clasificantes de grupos para una familia de subgrupos de $G$ que consta de todos los subgrupos de $H$ y sus conjugados. Esta última definición es un caso particular de la homología de la representación de $G$ por medio de permutaciones en un conjunto $X$ que difinió Ernst Snapper. Se pueden definir invariantes topológicos de 3-variedades hiperbólicas en cada una de las homologías relativas. En la plática daremos detalles de estas teorías y ejemplos de cada una de ellas que nos permiten evidenciar que las dos son diferentes.