Monotonicidad temporal de soluciones de ecuaciones semilineales parabólicas con difusión fraccionaria

Ponente(s): José Villa Morales, Sigfried Mac\'{\i}as

Las ecuaciones diferenciales se originan en la ciencia como una necesidad de describir el comportamiento de ciertos fen\'omenos. En general, ellas son expresiones matem\'aticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y razones de cambio. En la actualidad su uso es muy diverso, de ah\'i la importancia de su estudio. En general se necesitan condiciones iniciales o de frontera para que el problema quede bien plateado, es decir que tenga soluci\'on y sea \'unica en cierto contexto funcional. El prop\'osito de la presente charla es exibir que ciertas ecuaciones diferenciales parab\'olicas semilineales con difusi\'on fraccionaria tienen soluciones temporalmente mon\'otonas acotadas, esto nos permite estudiar su comportamiento asint\'otico temporal, resultando soluciones de ecuaciones diferenciales parciales de tipo el\'iptico donde la difusi\'on es fraccionaria con un t\'ermino de reacci\'on no lineal y con un t\'ermino fuente. Esto se hace en tres etapas. En la primera se considera la ecuaci\'on parab\'olica asociada a la ecuaci\'on el\'iptica, para la ecuaci\'on parab\'olica se demuestra que tiene soluci\'on local y que \'esta es una soluci\'on global si la condici\'on inicial es positiva. M\'as a\'un, se demuestra que dicha soluci\'on tambi\'en es positiva y mon\'otona temporalmente. Debido a la monoton\'ia y a que la soluci\'on es acotada se sigue que existe el l\'imite temporal, y dicho l\'imite, no trivial, es soluci\'on del problema el\'iptico de inter\'es. La segunda etapa consiste en estudiar el comportamiento asint\'otico (espacial) de la soluci\'on de la ecuaci\'on diferencial el\'iptica, aqu\'i reducimos el problema al estudio de una ecuaci\'on diferencial ordinaria de segundo orden no lineal, de la cual se conoce su existencia y su comportamiento asint\'otico. Finalmente, en la tercera etapa usamos el comportamiento asint\'otico, de la soluci\'on de la ecuaci\'on diferencial ordinaria, para dar condiciones sobre la integrabilidad de la soluci\'on del problema el\'iptico.