Propiedades de tipo completes en extensiones H-cerradas y absolutos.
Ponente(s): José Alberto Martínez Morales, Dr. Ángel Tamariz Mascarúa
Dr. Alejandro Darío Rojas Sánchez
La definición original de espacio Cech-completo fue dada en 1937 por Eduard Cech como
un espacio de Tychonoff X que es un conjunto Gδ en βX (también definida por primera vez en
ese mismo trabajo). Cech llamó “espacio topológicamente completo” a lo que hoy llamamos en
su honor espacio Cech-completo. En su trabajo, Cech dió una caracterización interna para saber
cuando un espacio de Tychonoff X es Cech-completo; es decir, demostró lo siguiente: un espacio
de Tychonoff X es Cech-completo si y sólo si existe una familia numerable { An : n ∈ N} de
cubiertas abiertas para el espacio X con la propiedad de que cualquier familia F de subconjuntos
cerrrados de X, la cual tiene la propiedad de intersección finita y contiene conjuntos de diametro
menor que Ai para i = 1, 2, ..., tiene intersección no vacía.
Si una familia numerable { An : n ∈ N} de cubiertas abiertas para un espacio topológico X
cumple con la propiedad escrita en el parrafo anterior, decimos que la familia numerable {An
: n ∈ N} es una C-sucesión para el espacio X. Decimos que un espacio topológico X es C-
completo (es una abreviatura de Cech-completo) si existe una C-sucesión { An : n ∈ N} para
X.
En nuestra investigación, todos los espacios topológicos con los cuales trabajamos son de
Hausdorff. Así, decimos que un espacio topológico X es HC-completo (es una abreviatura de
Hausdorff-Cech-completo) si X es de Hausdorff y existe una C-sucesión { An : n ∈ N} para
X. En la categoría de espacios de Tychonoff, los conceptos de C-completes y HC-completes
coinciden. Por otro lado, es aquí donde los espacios H-cerrados juegan un rol importante, debido
a que mostramos un espacio topológico que es Urysohn, H-cerrado, HC-completo pero no de
Tychonoff.
Si trabajamos en la categoría de espacios de Tychonoff, es bien sabido que la propiedad de
ser C-completo es herediria a subconjuntos Gδ y a subconjuntos cerrados. Además, el producto
numerable de una familia no vacía de espacios topológicos no vacíos, C-completos es también C-
completo. Sin embargo, analizaremos cuando la propiedad de ser HC-completo es hereditaria y si
el producto numerable de una familia no vacía de espacios topológicos no vacíos, HC-completos
también cumple la misma propiedad. Más aún, mostraremos que cualquier espacio regular, HC-
completo es un espacio de Baire.