Estructuras $G_2$ en Aureolas de Milnor

Autor: José Omegar Calvo Andrade
Coautor(es): L\'azaro Rodriguez D\'iaz, Henrique N. S\'a Earp
Sea $\varphi\in \wedge^3 (\mathbb{R}^7)^{\ast}$ la 3 forma definida en la base $\{ e^i,\quad i=1,\dots 7\}$ por \begin{equation} \label{eq: G2 3-form} \varphi_0 =e^{567}+\omega_1\wedge e^{5} +\omega_2\wedge e^{6} +\omega_3\wedge e^{7} \end{equation} donde \begin{displaymath} \omega_1= e^{12} - e^{34}, \quad \omega_2= e^{13} - e^{42}, \quad \text{and}\quad \omega_3= e^{14} - e^{23}. \end{displaymath} El grupo \[ G_2=\{g\in SO(7) : g^{\ast}\varphi=\varphi\} \] Sea $F:\mathbb{C}^5\longrightarrow \mathbb{C}$ un polinomio quasi--homog\'eneo con singularidad aislada en $\mathbf{0}\in \mathbb{C}^5$. La aureola de Milnor definida como $\mathbb{K}_{F}=F^{-1}(0)\pitchfork\mathbb{S}^9$ es una subvariedad cerrada de dimension $7$ Sasakiana que en algunos casos define una variedad Calabi--Yau en un proyectivo pesado $V=\{F=0\}\subset \mathbb{P}^4_{\mathbf{w}}$, por ejemplo, cuando $F$ es homog\'eneo de grado 5. En estos casos, $\pi:\mathbb{K}\longrightarrow V$ fibra sobre $V$ con fibra $\mathbb{S}^1$ y el grupo estructural del haz de marcos de $\mathbb{K}=\mathbb{K}_F$, se reduce de manera can\'onica al grupo excepcional $G_2$ que es co--cerrada, definida por la $3$--forma $\varphi\in \Omega^3_{\mathbb{K}}$, que satisface $\varphi|_{T_p\mathbb{K}^{\ast}}=\varphi_0$ con $d\ast\varphi=0$, donde \begin{equation} \label{eq-GrayG2structure} \begin{array}{rcl} \varphi &:=& \theta\wedge \pi^{\ast}\omega + \pi^{\ast} \Im\epsilon,\\ \psi &:=&\frac{1}{2}\pi^{\ast}\omega\wedge\pi^{\ast}\omega + \theta\wedge \pi^{\ast}\Re\epsilon=*\varphi \end{array} \end{equation} donde $\omega$ es la forma de K\"alher y $\epsilon$ la forma de volumen holomorfa en $V$. La forma $\theta\in \Omega^1_{\mathbb{K}}$ que se restringe a la forma de \'angulo a las fibras $\mathbb{S}^1$. Podemos distinguir las parejas $(\mathbb{K},\varphi)$ con el invariante de Crowley-Nordstr\"om $\nu(\varphi)\in \mathbb{Z}_{48}$. \begin{Gtheorem} Sean $F$ polinomio quasi--homog\'eneo que define una variedad Calabi--Yau en un proyectivo con peso. Sea $(\mathbb{K},\varphi)$ la aureola de Milnor con su $G_2$--estructura. Entonces \begin{enumerate} \item El invariante de Crowley--Nordstr\"om $\nu(\varphi)\in \mathbb{Z}_{48}$ es impar. \item Si $\alpha\in \mathbb{Z}_{48}$ es impar, entonces existe $F:\mathbb{C}^5\longrightarrow \mathbb{C}$ un polinomio quasi--homog\'eneo con singularidad aislada en $\mathbf{0}\in \mathbb{C}^5$ tal que la aureola de Milnor $(\mathbb{K}_F,\varphi)$ admite una $G_2$--estructura y $\alpha=\nu(\varphi)$. \end{enumerate} \end{Gtheorem}