Cazadores de sinfonías: un estudio de la sincronización en modelos de comunicación interneuronal

Autor: Omar Patricio Juárez Álvarez
Coautor(es): Alessio Franci
Los modelos de actividad electrofisiológica neuronal vieron su gran comienzo en 1952 con el modelo de Hodgkin-Huxley para el axón del calamar gigante. Este enfoque fue retomado y generalizado por el modelado basado en conductancias, y en otros casos simplificado por modelos reducidos como el de FitzHugh-Nagumo, pero también ha servido para motivar la interacción entre dos o más neuronas, cada una con su propia dinámica (y en última instancia presentar conceptos como el de campo neuronal). Esto obedece a cambios de paradigmas científicos en que se ve cada vez más al individuo no por sí mismo sino como un miembro de toda una red que cambia y se comunica, aceptando así la posibilidad de encontrar comportamientos de autoorganización y sincronización, y hablar de complejidad. En el presente trabajo consideramos un arreglo neuronal representado por una gráfica dirigida de N neuronas (vértices) que pueden o no estar comunicadas entre ellas (aristas). Se propone un modelo general en ecuaciones diferenciales de la forma \dot{x_i} = -x_i-y_i+\tanh\left(\sum_{j\not= i} \beta_{i,j} x_j\right) \dot{y_i} = \varepsilon(x_i-y_i), donde (x_i,y_i) representa el estado de la i-ésima neurona y los escalares $\beta_{i,j}$ son factores de intensidad de comunicación entre la $i$-ésima y $j$-ésima columna, de modo que la estructura general del arreglo se puede ver por medio de la matriz $B=(\beta_{i,j})$ (que no es necesariamente simétrica). \par Nuestro objetivo es estudiar condiciones generales de sincronización entre los $N$ individuos del arreglo. Primero distinguimos casos particulares de interés donde $B$ está determinada (configuraciones todos-contra-todos, cadenas y anillos unidireccionados y bidireccionados, racimo-contra-racimo, etc.) en donde es fácil analizar y buscar bifurcaciones de Hopf que den pie a ciclos límite estables, y después garantizar la existencia de variedades centrales de la forma $$S=\{(\overline{x}, \overline{y})\in\mathds{R}^{2N}: \ \ \forall i\forall j (x_i=x_j=y_i=y_j)\},$$ de donde se concluye de sincronización entre las variables de estado del sistema. Posteriormente se estudia el caso abstracto, donde la gráfica propuesta es fuertemente conexa (que generaliza a algunas de las configuraciones anteriores) en busca de condiciones para la sincronización neuronal. El análisis ahora se hace observando la relación entre $B$ y la matriz laplaciana de la gráfica $L$ . Se ofrecen, finalmente, simulaciones numéricas que comprueban lo predicho por la teoría.