Cálculo de los valores y vectores propios de las matrices tridiagonales de Toeplitz con perturbaciones en las esquinas
Ponente(s): Alejandro Soto González, Dr. Egor Maximenko
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Estudiamos los valores y vectores propios de las matrices de la siguiente forma:
\[
S_n
=\left[\begin{array}{rrrrrrr}
2 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & -\alpha \\
-1 & 2 & -1 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
\hdotsfor{7}\\
0 & 0 & 0 & \ldots & 2 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 2 & -1\\
-\alpha & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 2
\end{array}\right],
\]
donde $0<\alpha<1$ es un par\'{a}metro fijo.
Sean $\lambda_{n,1}<\ldots<\lambda_{n,n}$ los valores propios de $S_n$.
Hacemos el cambio de variable $\lambda_{n,k}=4\sin^2\frac{\theta_{n,k}}{2}$.
Usando la expansi\'{o}n por cofactores y manipulaciones trigonom\'etricas,
calculamos el polinomio caracter\'{i}stico de $S_n$
y representamos la ecuaci\'{o}n caracter\'{i}stica en la forma
\[
\theta_{n,k} = \frac{k\pi-\eta_k(\theta_{n,k})}{n},
\]
donde $\eta_k$ es cierta funci\'{o}n elemental.
Mostramos que para $n$ suficientemente grande y para cada $k$ de $1$ a $n$,
el lado derecho de la \'{u}ltima ecuaci\'{o}n es una funci\'{o}n contractiva,
por lo cual la ecuaci\'{o}n es f\'{a}cil de resolver num\'{e}ricamente
con el m\'{e}todo del punto fijo.
Usando la misma ecuaci\'{o}n caracter\'{i}stica,
deducimos expansiones asint\'{o}ticas para los valores propios:
\[
\lambda_{n,k}
= f\left(\frac{k}{n}\right)
+\frac{1}{n}g_k\left(\frac{k}{n}\right)
+O\left(\frac{1}{n^2}\right),
\]
donde $f$ y $g_k$ son ciertas funciones elementales.
Demostramos la siguiente f\'{o}rmula exacta para las componentes de un vector propio asociado a $\lambda_{n,k}$:
\[
v_{n,k,j}=\sin(j\theta_{n,k})+\alpha\sin((n-j)\theta_{n,k}).
\]
Finalmente, hacemos experimentos num\'{e}ricos en los sistemas de \'{a}lgebra computacional GNU~Octave y SageMath,
y comprobamos las f\'{o}rmulas mencionadas arriba.
La pl\'{a}tica ha sido parcialmente apoyada por el proyecto IPN-SIP 20180070.
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