Cálculo de los valores y vectores propios de las matrices tridiagonales de Toeplitz con perturbaciones en las esquinas

Autor: Alejandro Soto González
Coautor(es): Dr. Egor Maximenko
\begin{document} Estudiamos los valores y vectores propios de las matrices de la siguiente forma: \[ S_n =\left[\begin{array}{rrrrrrr} 2 & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & -\alpha \\ -1 & 2 & -1 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \hdotsfor{7}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 2 & -1\\ -\alpha & 0 & 0 & \ldots & 0 & -1 & 2 \end{array}\right], \] donde $0<\alpha<1$ es un par\'{a}metro fijo. Sean $\lambda_{n,1}<\ldots<\lambda_{n,n}$ los valores propios de $S_n$. Hacemos el cambio de variable $\lambda_{n,k}=4\sin^2\frac{\theta_{n,k}}{2}$. Usando la expansi\'{o}n por cofactores y manipulaciones trigonom\'etricas, calculamos el polinomio caracter\'{i}stico de $S_n$ y representamos la ecuaci\'{o}n caracter\'{i}stica en la forma \[ \theta_{n,k} = \frac{k\pi-\eta_k(\theta_{n,k})}{n}, \] donde $\eta_k$ es cierta funci\'{o}n elemental. Mostramos que para $n$ suficientemente grande y para cada $k$ de $1$ a $n$, el lado derecho de la \'{u}ltima ecuaci\'{o}n es una funci\'{o}n contractiva, por lo cual la ecuaci\'{o}n es f\'{a}cil de resolver num\'{e}ricamente con el m\'{e}todo del punto fijo. Usando la misma ecuaci\'{o}n caracter\'{i}stica, deducimos expansiones asint\'{o}ticas para los valores propios: \[ \lambda_{n,k} = f\left(\frac{k}{n}\right) +\frac{1}{n}g_k\left(\frac{k}{n}\right) +O\left(\frac{1}{n^2}\right), \] donde $f$ y $g_k$ son ciertas funciones elementales. Demostramos la siguiente f\'{o}rmula exacta para las componentes de un vector propio asociado a $\lambda_{n,k}$: \[ v_{n,k,j}=\sin(j\theta_{n,k})+\alpha\sin((n-j)\theta_{n,k}). \] Finalmente, hacemos experimentos num\'{e}ricos en los sistemas de \'{a}lgebra computacional GNU~Octave y SageMath, y comprobamos las f\'{o}rmulas mencionadas arriba. La pl\'{a}tica ha sido parcialmente apoyada por el proyecto IPN-SIP 20180070. \end{document}