El Problema de Valor Inicial Para la Ecuación de Korteweg-de Vries Modificada Con Coeficientes Dependientes del Tiempo
Ponente(s): Juan Montealegre Scott
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\begin{document}
\begin{center}
{\large {\textsc{El Problema de Valor Inicial Para la Ecuación de
Korteweg-de Vries Modificada Con Coeficientes Dependientes del Tiempo}} }
{\large J. Montealegre Scott }
{\large jmscott@pucp.edu.pe }
{\large Pontificia Universidad Católica del Perú }
\end{center}
Consideramos el problema de valor inicial (PVI)
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
\partial _{t}u(x,t\mathbb{)}+\alpha (t\mathbb{)}\partial _{x}^{3}u(x,t%
\mathbb{)}+\beta (t\mathbb{)}u^{2}(x,t\mathbb{)}\partial _{x}u(x,t\mathbb{)}%
=0 \\
u(x,0)=u_{0}(x)\text{.}%
\end{array}%
\right. \label{P}
\end{equation}%
donde $u\ $es una función con valores reales de las variables $x\in \mathbb{R%
}$ y $t\geq 0$, $\alpha $ y $\beta $ son funciones no negativas y\ $u_{0}$
es el dato inicial. Cuando $\alpha =\beta =1$ la ecuación del PVI $($\ref{P}$%
)$ es la ecuación de Korteweg-de Vries modificada (KdVm). La
ecuación de KdVm surge como modelo en diferentes contextos
físicos, posee infinitas leyes de conservación y también se ha
estudiado debido a su relación con la teoría de la dispersión
inversa.
En esta exposición se presentará la buena formulación local del PVI $($\ref%
{P}$)$ en los espacios Sobolev $H^{s}(\mathbb{R)}$. Se dice que el PVI $($%
\ref{P}$)$ está bien formulado localmente en $H^{s}(\mathbb{R)}$
si genera un flujo local continuo en $H^{s}(\mathbb{R)}$, es
decir, existe solución única que depende continuamente de los
datos iniciales y tiene la propiedad de persistencia.
Kenig, Ponce y Vega en ``well posedness and scattering results for
the generalized Korteweg-de Vries equation via the contraction
principle" (Comm. Pure Appl. Math., Vol. 46, 527-620),\emph{\
}mostraron la buena formulación local del PVI asociado a la
ecuación de KdVm para datos iniciales en $H^{s}(\mathbb{R)}$ con
$s\geq 1/4$, usando efectos de regularización local, estimativas
de funciones maximales, estimativas de tipo Strichartz y el
principio de contracción.
El objetivo de la exposición será mostrar que el PVI $\left( \text{\ref{P}}%
\right) $ con $\alpha (t\mathbb{)}\not=0$ es localmente bien formulado para
datos iniciales en $H^{s}(\mathbb{R)}$ con $s>1/4$, como en el caso de
coeficientes constantes, mejora de este modo el resultado de Kenig, Ponce y
Vega.
\end{document}