APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE PRODUCTO DE MATRICES EN SITUACIONES PROBLEMA

Ponente(s): Alfredo Alanís Durán, : Humberto Obregón Mata, Dra. Lilia López Vera, Dr. Alfredo Alanís Durán
APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE PRODUCTO DE MATRICES EN SITUACIONES PROBLEMA Autores: Humberto Obregón Mata, Dra. Lilia López Vera, Dr. Alfredo Alanís Durán Universidad Autónoma de Nuevo León, México hobregon907@gmail.com ; lilia_lopez@hotmail.com ; aalanis56@hotmail.com Nivel Superior. Matemática Educativa Palabras Clave: producto matricial, aprendizaje significativo, competencias INTRODUCCIÓN El Modelo Educativo de la Universidad Autónoma de Nuevo León (UANL) es por Competencias. El enfoque basado en competencias es una guía en el desempeño docente a través de la cual se pueden integrar los contenidos habilidades y destrezas en función de su utilidad, con el fin lograr una formación integral de sus egresados, que abarque los diferentes ámbitos del desarrollo, el individual, el social y el profesional. Por competencia entendemos la capacidad de poner en práctica de forma integrada aquellos conocimientos adquiridos, aptitudes y rasgos de personalidad que permiten resolver situaciones diversas. En la práctica educativa la competencia es una característica subyacente en el individuo que está causalmente relacionada con un estándar de efectividad; es una combinación de particularidades (actitudes, habilidades, valores, conocimientos y responsabilidades). La FCFM ofrece una sólida formación integral, conocimiento matemático, experiencias socioculturales y el desarrollo de habilidades profesionales en el egresado de la carrera de Matemáticas de la FCFM de la UANL. La mayor parte de las universidades que participaron en Tuning América Latina (2004-2007) enfrentan al desafío de tomar las competencias acordadas como puntos de referencia para el diseño de los planes de estudio y la construcción de los perfiles de egreso. En Particular, Tuning declaró que al finalizar una Licenciatura en Matemáticas, los egresados deben tener 23 competencias específicas, que les permitan Integrar conocimientos matemáticos para realizar investigación en matemática pura, educativa o aplicada, en la solución de problemas concretos del ámbito científico, educativo o empresarial. Problemática Se considera importante, entre otras competencias, que el alumno sea capaz de resolver situaciones problema que requieran de sumas y productos matriciales. Sabemos que el tema de matrices es un tema relativamente sencillo, pero eso lo podemos decir frecuentemente cuando ya vamos avanzados en la carrera, pues incluso ya se considera “sencillo” aplicar este concepto para resolver algunos de los problemas que se plantean en el trabajo diario. ¿Pero, qué pasa con los alumnos de los primeros semestres; cuando el concepto de Matriz es totalmente nuevo sin saber que será de gran utilidad en su carrera profesional? La experiencia docente ha permitido observar que para los alumnos que llevan el curso de Tópicos de Algebra, tienen un deficiente aprendizaje significativo en el tema de matrices; se ha observado que no identifican de forma correcta el orden de una matriz, no identifican los significados de las propiedades; y que los alumnos se cierran por completo y no saben qué hacer o argumentar cuando algún problema de suma o producto de matrices no tiene solución. El Objetivo de la presente investigación es propiciar el aprendizaje significativo del producto de matrices en la solución de situaciones problema a través de asesorías con retroalimentación personalizada. MARCO TEÓRICO Piaget (1996) utilizó el término conflicto cognitivo para referirse al cambio conceptual o reconceptualización que genera en los estudiantes una situación contradictoria, entre lo que ellos saben (conocimientos previos) y los nuevos conocimientos, provocando un desequilibrio cognitivo que conduce a un nuevo conocimiento más amplio y ajustado a la realidad y que, a partir de ello, sigue enriqueciéndose en nuevos procesos de aprendizaje a través de ciclos evolutivos. Vygotsky sostiene que, para que haya conflicto cognitivo, debe existir una relación general entre el desarrollo y el aprendizaje, pero para poder establecer esa conexión se tiene que delimitar dos niveles evolutivos: (a) evolutivo real que es el conocimiento previo que uno posee, el cual se ha realizado con ayuda de un mediador; y (b) evolutivo proximal que es la capacidad de resolver un problema independientemente, llevándolo al desarrollo potencial. Dentro de los primeros semestres el profesor llega y comienza a explicar varios problemas, sin previa teoría. Los estudiantes con los conocimientos que tienen pueden resolver algunas de las preguntar que el profesor les hace, pero llegan a un punto en que ya no pueden contestar más y es aquí donde se dan cuenta que los conocimientos que tenían no eran suficientes. Entonces el docente debe ser capaz de orientar a los estudiantes sobre sus conocimientos previos para introducir este nuevo concepto que al estudiante le hace falta, que además lo comprenda y sea capaz de aplicarlo en problemas reales. La EBP muestra al alumno el camino para resolver Situaciones Problema en la obtención de los conceptos. Las funciones de la enseñanza problémica son: Garantizar que, paralelamente a la adquisición de conocimientos, se desarrolle un sistema de capacidades y hábitos necesarios para la actividad intelectual. Contribuir a la formación del pensamiento dialéctico/materialista de los estudiantes, como fundamento de la concepción científica del mundo. Propiciar la asimilación de conocimientos al nivel de su aplicación creadora y que no se limite al nivel reproductivo. Enseñar al alumno a aprender, pertrechándolo de los métodos del conocimiento y del pensamiento científico. Contribuir a capacitar al educando para el trabajo independiente al adiestrarlo en la revelación y solución de las contradicciones que se presentan en el proceso cognoscitivo. Promover la formación de motivos para el aprendizaje y de las necesidades cognoscitivas. Contribuir a la formación de convicciones, cualidades, hábitos y normas de conducta. La contradicción que constituye la fuerza motriz del proceso docente es la que se manifiesta entre las tareas prácticas y docentes que se plantea al alumno durante el proceso de enseñanza y el nivel real de los conocimientos, capacidades y habilidades y los restantes componentes de su personalidad. Esta contradicción se convierte realmente en la fuerza motriz del aprendizaje cuando el alumno comprende las dificultades y necesidades de superarlas y son descubiertas e interiorizadas por el propio alumno, lo que lo impulsa a la búsqueda de su solución. Tal como lo afirma Portela, et.al. (2001), la actividad intelectual que surge durante la situación problema conduce al planteamiento del problema, que no es más que la determinación del elemento que provocó la dificultad. El problema es, en su sentido más general, la pregunta que surge de la actividad del hombre, así como las propias acciones encaminadas a hallar la respuesta y a solucionar las tareas que el sujeto tiene ante sí. La Teoría del Aprendizaje Significativo (Ausubel, 2002) sigue siendo un potente referente explicativo que se ve fuertemente reforzado por la Teoría de los Modelos Mentales y la Teoría de los Campos Conceptuales, como apoyos representacionales que dan cuenta de cómo se produce la asimilación y la retención del conocimiento. Con esta explicación psicológica conjunta se abren múltiples posibilidades para la investigación en educación y para la docencia, un marco que posibilita que efectivamente se alcance el aprendizaje significativo en el aula. Conceptos y propiedades de Matrices De la revisión bibliográfica sobre Conceptos y Propiedades de Matrices, encontramos relevante que en el libro de Algebra Lineal, 6ª Edición, de Stanley I. Grossman, no inicia directamente con el tema de matrices. Si no que empieza con el subtema de “Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: solución única”. Y de ahí comienza a explicar que se buscan tres valores x1, x2, x3 tales que las tres ecuaciones se satisfagan, primero explican el tema de eliminación, el cual consiste en multiplicar alguna de las ecuaciones estratégicamente, de tal manera que, al sumarla con otra, una de las variables se “elimine”. Explica el procedimiento y después de dar la solución menciona que también existe el método de eliminación Gauss-Jordan, sin si quiera haber mencionado el tema de matrices. Posterior a esto menciona la metodología que inconscientemente el alumno hizo para “eliminar las variables y hallar los valores”. Aquí es donde comienza hablar sobre que es una matriz, matriz aumentada y entonces si comienza a hablar sobre propiedades que podemos aplicar a matrices. A diferencia de la bibliografía anterior que comienza con la aplicación de las matrices, en el Libro de Algebra Superior, 3ª Edición, de Murray R. Spiegel y Robert E. Moyer, se inicia presentando la definición de una matriz, del término [aij], etc. Posterior empieza directo a definir suma de matrices, resta de matrices, multiplicación por un escalar, menciona que el producto de matrices no es conmutativo…. Una vez concluida la parte en donde nos enseña propiedades básicas de las matrices (suma, resta, multiplicación por un escalar, producto de matrices) entra en la parte de “operaciones elementales con renglones” , inversa de una matriz. Pero lo que siento es algo muy importante en este libro es que tiene una lista de “problemas resueltos” esto ayuda mucho al ayudante, si lo utiliza conscientemente, ¿en qué aspecto? Pues el alumno debe ser capaz de hacer por si solo los problemas y así una vez que concluya con un problema que sea capaz de comparar procedimientos y sacar conclusiones. Historia de la Teoría de Matrices. A varios profesores de la FCFM, les interesa que los estudiantes conozcamos a profundidad la materia; y es por esto que nos hablan un poco sobre historia y/o aplicaciones de la unidad de aprendizaje hacia algunas materias como Tópicos de Optimización, Investigación de Operaciones, Ecuaciones Diferenciales. Gracias a estos profesores me doy a la tarea de comenzar igual que ellos hablando un poco sobre Historia de matrices y quienes las utilizaban. Aporte de los Babilonios: El surgimiento de las matrices data del siglo II AC, aunque hay indicios desde el siglo IV AC. Fue hasta finales del siglo XVII que las ideas reaparecieron y se desarrollaron con fuerza. Las matrices surgen del estudio de sistemas de ecuaciones lineales. En Babilonia, tras diversas excavaciones arqueológicas, se hallaron tablillas de arcilla, en las que se plantean y solucionan ecuaciones lineales. Por ejemplo, una tablilla que data alrededor de 300 años AC contiene el siguiente problema: "Hay dos terrenos cuya área total es de 1800 metros cuadrados (yardas). Uno produce granos en una proporción de 2/3 de una medida por yarda cuadrada mientras el otro produce granos en una proporción de 1/2 de una medida por metro cuadrado. Si la producción total es 1100 medidas, ¿Cuál es el tamaño de cada terreno?" Aporte de los Chinos: Los chinos, entre los años 200 AC y 100 AC, estuvieron mucho más cerca de las matrices que los babilonios. Según Boyer el texto “Nueve Capítulos de Arte Matemático”, ejerció una gran influencia sobre los posteriores libros de matemáticas de los chinos. Esta obra incluye 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, compañía, ingeniería, impuestos, resolución de ecuaciones y propiedades de los triángulos rectángulos. Específicamente en el capítulo ocho, se muestra un gran interés por la resolución de problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales, que usan números positivos y negativos. Éste tema quedará como uno de los favoritos dentro de los pueblos orientales. METODOLOGÍA La presente investigación implementa a la Enseñanza Basada en Problemas (EBP), la cual utiliza situaciones problemáticas para conducir el aprendizaje y puede concretizarse en un proyecto de investigación, en un método de estudio de casos, en un proyecto de diseño, etc. El método de casos, instala al participante dentro de una situación real y le da la oportunidad de dramatizar sus propios enfoques y sus decisiones, lo cual lo prepara para la acción. El propósito de un método de casos, es dar a los estudiantes la oportunidad de adquirir un entendimiento generalizado de los problemas que pueden encontrar y de ayudarles a desarrollar habilidades y destrezas para su solución, de una forma sistemática, que conduzca a soluciones viables. Primera etapa: Los casos que se recomiendan para presentar primero en la gestión del conocimiento, son los que encontramos en el texto “Nueve Capítulos de Arte Matemático”. En este libro, se encuentra el siguiente ejemplo relacionado con los sistemas de ecuaciones lineales: "Hay tres tipos de cereal, de los cuales tres fardos del primero, dos del segundo, y uno del tercero hacen 39 medidas. Dos del primero, tres del segundo y 1 del tercero hacen 34 medidas. Y uno del primero, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de cereal están contenidas en un fardo de cada tipo? Para resolver el problema, el autor coloca los coeficientes del sistema de tres ecuaciones lineales, ordenados por columnas en una especie de "tablero contador". Actualmente, se escriben las ecuaciones lineales por medio de filas más que por columnas, sin embargo, el método es el mismo. Es sorprendente observar que, hace 2200 años, el autor escribió las siguientes instrucciones para el lector. “Tablero contador” adaptación moderna de dichas instrucciones 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39 Multiplicar la columna dos por tres y la columna tres por dos, restar la nueva columna tres a la columna dos, generando una nueva columna dos. Luego, multiplicar la columna uno por tres y restarle la columna tres generando una nueva columna uno. El tablero contador queda así: 0 0 3 4 5 2 8 1 1 39 24 39 Multiplicar la columna uno por cinco y la columna dos por cuatro, restar la nueva columna dos a la columna uno, generando una nueva columna uno. El tablero contador queda así: 0 0 3 0 5 2 36 1 1 99 24 39 Con esto, tenemos la solución para el tercer tipo de cereal. De este modo, se puede encontrar la solución para el segundo y por último para el primero por medio de una sustitución hacia atrás. Este método, conocido como “Eliminación Gaussiana”, se redescubrió hasta inicios del siglo XIX. La sección de Historia de la “Teoría de matrices” se realiza con el fin de mencionar a los estudiantes que el tema de matrices no es algo nuevo y curioso, sino que ya se trabajaban con matrices desde los años 200 A.C. Y que no solamente eran problemas numéricos, sino que utilizaban las matrices para resolver los sistemas lineales, y el escritor le dejo pasos al lector para que se diera cuenta de cómo resolvían el sistema de ecuaciones en la antigüedad. Segunda Etapa: Se presenta un caso de situación problema en un entorno de contagio de enfermedades. En este ejemplo se muestra la forma en la cual se puede usar la multiplicación de matrices para modelar la manera en que se extiende una enfermedad contagiosa. Situación Problema Matrices Dado que un grupo de 4 personas que se han contagiado y entran en contacto con otro grupo de 6 personas, se modela a la situación problema con una “matriz de contacto” de orden 4x6, en la que aij =1 si la i-ésima persona del primer grupo entra en contacto con la j-ésima persona del 2º grupo. Por ejemplo en la elemento a24 =1, significa que la 2ª persona del primer grupo entró en contacto con la 4ª persona del 2º grupo. Matriz de contacto directo: grupos primero y segundo: Ahora suponiendo que un tercer grupo de 5 personas tiene varios contactos directos con individuos del 2º grupo. Entonces se establece otra matriz 6x5, en la que el elemento b64=0 representa al contacto de la 6ª persona del 2º grupo con la 4ª persona del tercer grupo. Los Contactos Indirectos o de 2º orden entre las personas del primer grupo con el tercero, se representarán mediante la matriz C =AB de orden 4x5 Matriz de Contacto Indirecto: grupos segundo y tercero Entonces, si a24 =1 y b45 =1, tendremos que la 5ª persona del grupo tres, se contagió por la 4ª persona del grupo 2, la cual se había contagiado por la 2ª persona del primer grupo. El número total de contactos indirectos entre la 2ª persona del grupo 1 y la 5ª persona del grupo 3, está dado por: C23 = a21b15 + a22b25 + a23b35 + a24b45 + a25b55 + a26b65 = 1.1 + 0.0 + 0.0 + 1.1 + 0.0 + 1.0 = 2 Matriz de Contacto Indirecto C=AB Este ejemplo va a servir para que el estudiante se enfrente a un conflicto cognitivo y se pregunte ¿Qué hizo para obtener la matriz A y la matriz B? y más en específico ¿Cómo le hizo para obtener la matriz C? Tercera etapa: Estas preguntas propician a la construcción del conocimiento conceptual, procedimental y actitudinal en el desarrollo de la competencia de aplicar productos matriciales. A partir de las situaciones problema, se aplican estrategias de aprendizaje significativo para formalizar los conceptos. Definición: Dado un conjunto X no vacío, se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de n×m elementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y m columnas. Las características de los elementos del conjunto X dependerán, en cada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de números, etc. De aquí en adelante, salvo que se especifique lo contrario, los elementos del conjunto X serán números reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden n×m (n filas y m columnas) por M n×m. En general, para representar una matriz A de orden n×m se escribe A= (■(a11&⋯&a1m@⋮&⋱&⋮@an1&⋯&anm)) También se escribe A= (aij) (i = 1,..., n y j = 1,..., m) para indicar que A es la matriz de orden n×m que tiene elementos aij . Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con la misma letra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en la matriz; el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna. Es decir, el elemento aij es aquel que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz A. Por ejemplo, si denotamos por M la matriz inicial, entonces el orden de M es 2×3 (2 filas y 3 columnas) y sus elementos son: m11 = 8, m12 = -1, , m13 = 0, m21 = 5, m22 = 0.5 y m23 = 3. Dos matrices A= ( aij ) y B=(bij ), de orden n×m, son iguales si aij = bij para todo i = 1,..., n y j = 1,..., m. Es decir, dos matrices son iguales si los elementos que ocupan la misma posición en ambas matrices coinciden. Multiplicación de matrices. ¿Qué es un producto de Matrices? El uso de Tecnología puede despertar la curiosidad en el alumno, pero se corre el riesgo de que se conformen con obtener el resultado sin saber cómo se obtuvo y qué significa dicho resultado. Por lo que se parte de un problema enfocado a la economía de un país, aplicando “matriz input-output”. Se desarrolla todo el problema, aunque probablemente el estudiante no entienda mucho, pero que despierte en el la curiosidad de lo que está pasando algebraicamente. Y a partir de aquí, explicar el producto de matrices. Definición: Se denomina matriz producto de la matriz A = (aij) ∈ M n×m por la matriz B = (b jk) ∈ M m×p , a una matriz C = (cik) ∈ M n× p cuyos elementos son de la forma Cik = ai1b1k + ai2b2k + …+ aimbmk . Es decir, los elementos que ocupan la posición ik, en la matriz producto, se obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila i en la primera matriz por los elementos de la columna k de la segunda matriz. Observemos en detalle cómo se obtiene el elemento c23 en el siguiente ejemplo: Dos matrices se pueden multiplicar sólo cuando el número de columna de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda. En ese caso se dice que las matrices son enlazadas. En el siguiente ejemplo podemos ver además cuál es el orden de la matriz producto. Nótese además que no podemos calcular BA. Hay casos, como veremos en el siguiente ejemplo, en los que se pueden calcular ambos productos, aunque se obtienen resultados diferentes. Consideremos las siguientes matrices: Según se pudo comprobar a través de los ejemplos anteriores, para la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutativa. RESULTADOS Para poder darnos cuenta del problema que existe entre los alumnos en el tema de producto de matrices, la maestra Lilia López me brindo su ayuda, pues gracias a ella pude acercarme como laboratorista a un grupo de 30 estudiantes de la Licenciatura en Seguridad en Tecnologías e Información, que cursan un 4to semestre del cual está a cargo el profesor Alfredo Alanís. Antes de hacer un acercamiento con estos estudiantes, se realizó un análisis de las respuestas a los laboratorios diseñados por el profesor Alfredo Alanís. La planificación de la asesoría personalizada se basó en los resultados de la clasificación de tipos de errores en las respuestas de los estudiantes, se constató que la operación suma induce al error frecuente de multiplicar elemento por elemento. Es decir, que dado que los elementos de la suma de matrices C=A+B son los cij =(aij )+ (bij) me pude dar cuenta de que algunos estudiantes no tenían clara la regla de multiplicación de matrices, pues aplicaron cij =(aij )(bij) para obtener los elementos de C=AB. En particular, se tomó el caso de uno de los estudiantes entre los que no tenían idea del concepto y de lo que tenían que hacer para resolver productos matriciales. Dicho alumno ni siquiera sabía cuál es la regla para multiplicar matrices. Con la ayuda de este alumno se aplicó una estrategia de Tutoría personalizada sobre lo que es el concepto de matriz y producto de matriz. Antes de entrar con definiciones, se realizó una actividad didáctica con un ejemplo práctico en donde se puede usar el producto de matrices, con el fin de que los estudiantes se dieran cuenta de que no solamente se puede utilizar en el aula, lo que vallan a aprender más adelante. Es importante enfocar la parte, en que como primer paso los alumnos identificaron y mencionaron el nombre de la matriz que operaron (identidad, columna, fila, unitaria, etc.) Después checaron si cumplían con las propiedades para poder sumarlas, multiplicarlas, o aplicar la inversa. El caso del alumno elegido a partir del laboratorio sin respuestas correctas, pasó de forma voluntaria al pizarrón y resolvió de forma correcta las sumas y productos matriciales, encontrando de forma correcta los Cij que se le solicitaron. Respecto al aprendizaje significativo, los alumnos argumentaron de forma correcta sus respuestas. Es decir, si tenemos una matriz de 2x2 con una matriz de 3x3 y queremos sumarlas; en realidad la respuesta a ello es: “No podemos sumar estas matrices, pues no tienen la misma dimensión”. Dubinsky & McDonald, (2001) usa la abstracción reflexiva para describir cómo un individuo logra ciertas construcciones mentales sobre un concepto determinado, partiendo de la siguiente idea del conocimiento matemático: “El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder a las situaciones matemáticas problemáticas en un contexto social, y construyendo acciones, procesos y objetos y organizándolos en esquemas con el fin de manejar las situaciones y resolver los problemas CONCLUSIONES. Se encontró la importancia que tiene el conocimiento conceptual y procedimental de Producto de matrices en la resolución de problemas de la vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solución exacta para dar mejores resultados en un determinado proceso. Como ya se mencionó, anteriormente, se eligió el caso de un estudiante en actividad grupal con asesoría para alumnos que tenían problemas con la multiplicación de matrices. El cambio de actitud y se hizo evidente, cuando le pedí que pasara a resolver un problema y tanto la maestra Lilia y yo nos dimos cuenta de que este chavo había comprendido mejor el tema. Es decir, mi objetivo se cumplió, estudiantes que batallaban con la comprensión del concepto y propiedades de matrices, pude hacer que comprendieran mejor esta definición y pasaran voluntariamente. Pude lograr compartir mi conocimiento a un grupo completo, y me quedo con la satisfacción de que al menos uno de los estudiantes que ni si quiera comprendió el tema al final pudo resolver la situación problema por sí mismo. REFERENCIAS Ausubel, D. P. (2002). Adquisición y retención del conocimiento. Una perspectiva cognitiva. Ed. Paidós. Barcelona Dubinsky, E. y M. McDonald (2001), “APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research”, en D. Holton (ed.), The Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study, Kluwer Academic Publishers Jiménez, J. (2013). Enseñanza del concepto de matriz a estudiantes de grado noveno, a través del programa computacional derive. Tesis publicada en Repositorio Institucional Universidad Nacional de Colombia bdigital.unal.edu.co Murray R. Spiegel y Robert E. Moyer (2007).Algebra Superior. Tercera Edición, Serie Schaum Portela, O. Alfonso,J. Argüelles, A. & Morales,C. (2001). Aprendizaje Basado en Problemas: una alternativa educativa. Contexto Educativo - Revista digital de Educación y Nuevas ... Tomado de contexto-educativo.com.ar/2001/4/nota-02.htm - 30k – Stanley I. Grossman (2008). Algebra Lineal. Sexta Edición, Editorial McGraw-Hil Steegmann y Rdz (año). Algebra_Matrices, Proyecto e-Math, Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD). Tomado el 22 de mayo de 2018 de https://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Algebra_Matrices.pdf