El método de reducción al absurdo a la luz de fórmulas bien formadas indecidibles

Ponente(s): Froylán Hernández Alfaro, Doctora en Ciencias con especialidad en Probabilidad y Estadística Érika Berenice Roldan Roa
En este trabajo analizamos el papel histórico que ha jugado el método de demostración indirecta, o reducción al absurdo, para el descubrimiento de fórmulas bien formadas indecidibles y el descubrimiento/estudio de nuevas ramas de la matemática. La comunidad matemática utiliza el método por reducción al absurdo para demostrar teoremas, por lo menos desde aproximadamente el 300 a. de C. (Hay varios ejemplos en los libros de Euclides) . Este método de demostración se puede describir como sigue: se quiere demostrar que A es verdadero, entonces, se supone que ¬A es verdadero y se trata de llegar a una contradicción; si se logra, el anunciado ¬A no puede ser verdadero, así que se concluye que A es verdadero. Esta demostración parte del supuesto que A es decidible, es decir, que A es verdadero o ¬A es verdadero; sin embargo, esto no siempre es el caso, ya que A puede ser indecidible. En este caso si A es una fórmula bien formada e indecidible para un sistema lógico formal consistente, tanto A como ¬A mantienen al sistema consistente al introducir uno de ellos al sistema como verdadero. Esto implica que si se intenta hacer una demostración por reducción al absurdo en ningún caso se llegaría a una contradicción. Como ejemplo histórico de lo anterior está el quinto postulado de Euclides. Durante siglos la comunidad matemática trató de demostrar que éste se podía deducir de los otros cuatro postulados (aún no existía el concepto de completitud de un sistema lógico formal). Uno de los intentos más destacados fue el realizado por Gerolamo Saccheri (1677-1733), quien intentó la demostración por reducción al absurdo, sin lograrlo, ya que este postulado resultó ser indecidible para el sistema; sin embargo, su investigación arrojó los primeros teoremas de las geometrías no euclidianas.