Sobre el espectro del operador de Schrödinger unidimensional con potencial negativo.

Ponente(s): Oscar Iván Pérez Mota, V. Valeri Kucherenko Golovchenko.

Se resuelve el problema espectral del operador $H$, con valores en la frontera, definido por \begin{align*} (Hy)(x)&:= -h^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}y(x) - x^{2}y(x), \\ y(-1) &= y(1) = 0, \end{align*} donde $h \ll 1$. Para el caso de valores propios positivos $\lambda$, mediante el m\'etodo WKB se obtiene la siguiente aproximaci\'on con precisi\'on $O(h)$, \begin{equation*} \sqrt{\lambda + 1} + \lambda \ln\left(1 + \sqrt{\lambda + 1}\right) - \frac{1}{2}\lambda \ln \lambda = n\pi h. \end{equation*} Si $-1 + \delta <\lambda <0$ y $\delta >0$, mediante la aproximaci\'on WKB para la transformada de Fourier de la funci\'on propia, se obtiene nuevamente una expresi\'on para $\lambda$, con la misma presici\'on anterior, dada por \begin{equation*} \sqrt{1 - \lambda} - \lambda\ln\left(1 + \sqrt{1 - \lambda}\right) + \frac{\lambda}{2}\ln|\lambda| = h\pi \left(2n + \frac{1}{2}\right). \end{equation*} Finalmente, para los eigenvalores cercanos a $-1$, se obtiene una ecuaci\'on aproximada en t\'erminos de la funci\'on de Airy.\par Es posible aplicar los resultados anteriores para el problema de eigenvalores del operador de Schr\"odinger con $N$ part\'{\i}culas sin esp\'{\i}n, el cual esta definido por \begin{equation*} \tilde{H} := -\sum_{j=1}^{N}\frac{d^{2}}{dx_{j}^{2}} + \sum_{1\leq i < j \leq N}V(x_{i} - x_{j}), \end{equation*} donde $V$ es un potencial binario peri\'odico, con algunos de sus coeficientes de Fourier negativos. \par Se agradece al Dr. Egor Maximenko por sus sugerencias. El trabajo fue parcialmente apoyado por el proyecto IPN-SIP 20180070.