Programa de Langlands y el problema inverso de Galois

Autor: Adrian Zenteno Gutierrez
El problema inverso de Galois, considerado por primera vez en el siglo XIX por Hilbert, consiste en determinar si todo grupo finito puede obtenerse como el grupo de Galois de una extensión finita de $\mathbb{Q}$. A pesar de ser un problema que continua abierto, grandes avances ocurrieron a lo largo del siglo pasado. La primera familia infinita de grupos simples no abelianos para la que el problema inverso fue resulto, fue la familia de grupos alternantes, resulta por Hilbert a principios del siglo XX. Posteriormente, Shafarevich (1958) demostró que todos los grupos solubles finitos pueden obtenerse como el grupo de Galois de una extension finita de $\mathbb{Q}$ y Thompson (1984) resolvió el problema para todos los grupos simples esporádicos excepto el grupo de Mathieu $M_{23}$. Una familia de grupos finitos simples, para la cual el problema inverso de Galois continua abierto, es la familia de grupos finitos simples de tipo Lie. En esta charla explicaremos como recientes avances en el programa de Langlands nos permiten resolver el problema inverso de Galois para algunas familias infinitas de grupos lineales, simplécticos y ortogonales.