OPERADORES HIPOELIPTICOS EN GRUPOS DE LIE UNIMODULARES

Ponente(s): Felipe Monroy Pérez

Una estructura sub Riemanniana ({\sc sr}) en un grupo de Lie $G$, est\'a definida por una familia de campos vectoriales invariantes $\{X_1,\ldots, X_k\}$ con $k<\dim(G)$, que satisface la {\it condici\'on del rango}, tambien llamada {\it condici\'on de H\"ormander}\ : $$ \mbox{span}\{\lbrack X_1,\lbrack\cdots\lbrack X_{k-1},X_k\rbrack\cdots\rbrack\rbrack(g)\}=TgG,\quad \forall g\in G. $$ Una m\'etrica Riemanniana invariante queda definida al considerar $\langle X_I,X_j\rangle=\delta_{ij}$. Siguiendo la definici\'on de la geometr\'ia Riemanniana se define el {\it Laplaciano sub Riemanniano} como $$ \Delta_{sr}\phi=\mbox{div}_{sr}\mbox{grad}_{sr}\phi, $$ \noindent y se muestra que $$ \Delta_{sr}\phi=\sum_{i=1}^k(L_{X_i}^2+ L_{X_i}\phi\ \mbox{Tr}(\mbox{ad} X_i)). $$ Un grupo de Lie se denomina {\it unimodular} si las las medidas de Haar izquierda y derecha son proporcionales. Se pueba que en grupos de Lie unimodulares, el Laplaciano {\sc sr} se escribe como una suma de cuadrados y que es hipo-eliptico. Es de particular importancia la descripci\'on explicita del kernel de estos operadores. En esta charla se presentan algunos resultados preliminares para las expresiones del Laplaciano y su respectivo kernel, para algunos grupos de Lie unimodulares de bajas dimensiones.