Topología + Teoría de Números. ¿Qué sigue?

Ponente(s): Fernando Mauricio Rivera Vega

Revisaremos una manera de atacar problemas de la Teoría de Números mediante Topología. Las topologías con las cuales trabajaremos son la de Furstenberg sobre el conjunto de los números enteros, y las de Golomb y Kirch, ambas sobre el conjunto de los enteros positivos. Mediante dichas topologías se pueden obtener diversos resultados directos (o indirectos) de Teoría de Números que pueden fungir como herramienta para resolver problemas de esta rama de las Matemáticas. Entre algunos de los resultados que revisaremos son: 1) La equivalencia de que los números primos son densos sobre los enteros positivos con el Teorema de Dirichlet, el cual afirma que si $a$ y $b$ son enteros positivos y primos relativos, entonces la progresión aritmética $x_{n}=an+b$ contiene una infinitud de números primos. 2) El interior del conjunto de números primos es es vacío sobre la topología de Golomb. 3) El conjunto de los enteros positivos $m$ tales que $6m-1$ y $6m+1$ son primos gemelos es cerrado en la topología de Golomb. Además revisaremos la conexidad, compacidad y regularidad de dichos espacios para apoyarnos en la obtención de resultados de Teoría de Números.