Aspectos Algorítmicos de las Estructuras Aritméticas

Autor: Ralihe Raúl Villagrán Olivas
Coautor(es): Dr. Carlos E. Valencia O.
Sea $M$ una matriz cuadrada entera no-negativa, con diagonal cero. Las estructuras aritméticas de $M$ son los pares de vectores $(d,r)$ tales que $r$ es un vector primitivo y $(Diag(d)-M)r^t$=0^t$ (Las estructuras aritméticas fueron introducidas en el artículo "Arithmetical Graphs", D. Lorenzini, 1989). A los primeros vectores se les llama d-estructuras aritméticas de $M$. Toda d-estructura aritmética es solución de la ecuación diofantina $\det(Diag(X)-M)=0$ pero el recíproco es falso. El décimo problema de Hilbert (1900) fue resuelto por el Teorema de Matiyasevich (1970), por lo que hoy sabemos que no existe un algoritmo general tal que dada una ecuación diofantina polinomial con coeficientes enteros decida si existe o no solución entera. En esta charla daremos un algoritmo que resuelve (decide existencia y encuentra soluciones) las ecuaciones diofantinas asociadas a matrices, es decir, $(Diag(d)-M)r^t$=0^t$.