Un acercamiento al estudio de los problemas de optimización mediante el uso del software geogebra: Una estrategia de aprendizaje

Ponente(s): Karina Vazquez Pablo, Dr. Armando Morales Carballo

Resumen En este trabajo se describe una estrategia de enseñanza y aprendizaje de los problemas de optimización mediante el uso del software geogebra en el nivel medio superior. Esta propuesta pretende ser la base para la introducción de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial que posibilitan estudiar la variación de las funciones. Los elementos teóricos y metodológicos que sustentan la estrategia recaen en los aportes sobre recursos heurísticos e inducción en los procesos de enseñanza y aprendizaje, y en la instrucción heurística que posibilita el software geogebra. Con esta propuesta se contribuye en aportar herramientas de enseñanza y aprendizaje al profesor y al alumno del nivel medio superior. Introducción Nuestra experiencia docente ha permitido identificar en al menos cinco generaciones de alumnos que ingresan a la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Autónoma de Guerrero (UAGro) una gran ausencia en el dominio del contendio matemático del Bachillerato, particularmente en el dominio de las nociones elementales del Cálculo Diferencial que posibilitan el estudio de la variación de las funciones en una variable. Con el propósito de contribuir en la solución de este problema, se plantea hacer un acercamiento hacia el estudio de los problemas de optimización mediante el uso del softare geogebra, y a partir del estudio de probelmas de corte geométrico, con el objetivo de resaltar la importancia de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial; que posibilitan este tratamiento. El uso del software en las actividades de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, favorecen los procesos de adquicisión de esta, pues así lo señalan algunos trabajos de investigación. Por ejemplo, Morales, A. Locia, E y Marmolejo, E (2014) resaltan que las tendencias actuales sobre la enseñanza de la Matemática han destacado la importancia del uso de la tecnología como una herramienta que favorece los procesos de aprendizaje de la matemática, particularmente, destacan que el software geogebra es una herramienta heurística que favorece en la resolución de problemas el análisis, la visualización, identificación y generalización de propiedades de los conceptos matemáticos. En este trabajo utilizaremos el software geogebra como recurso heurístico que posibilitará acercamientos de identifcación de máximos y mínimos de las funciones asociadas a los problemas de corte geométrico, posterior a ello, se introducen formalmente los conceptos y sus propiedades. Elementos teóricos y metodológicos. Recursos heurísticos. Morales, A. Locia, E. Salmerón, P (2016) establecen que los procedimientos heurísticos construyen recursos mentales de búsqueda, lo cual permite orientarse y obtener la vía de solución durante el proceso de resolución de problemas matemáticos y para ello, el proceso se apoyo en recursos de corte heurístico, yaque estos permiten identifican los patrones de comportamiento, las propiedades y las relaciones que hay entre los objetos matemáticos que se estén estudiando esto mediante la manipulación y visualización a través del software (Morales, 2012). Resolución de problemas. Para la resolución de problemas retomaremos las aportaciones realizadas por Morales, A; Locia, E. y Marmolejo, E. (2014) en los que se propone la siguiente metodología: Etapa 1. Aproximación al problema. Etapa 2. Orientación hacia la solución. Etapa 3. Solución y valoración Aplicación de la metodología. Problema 1. Demostrar que de todos los rectángulos que pueden inscribirse en un círculo dado, el cuadrado es el de área máxima, demostrar que el cuadrado es también el de perímetro máximo. Aproximación al problema: En esta etapa se identifica la necesidad de inscribir un rectángulo de área máxima. Mediante el uso del software; en la pantalla de trabajo se construye u círculo de radio fijo, luego se construye un rectángulo inscrito en el círculo, se activa la medida del área y manualmente mediante la modificación de los lados, se se busca la posibilidad del área máxima. En la figura 1. se muestra la construcción de la situación a través de GeoGebra tomando el radio = 3. Figura 1. En la figura 2., se muestra cómo cambia el área y el perímetro del rectángulo conforme va cambiando la medida de sus lados. Figura 2. Orientación hacia la solución: Luego de la etapa anterior, se identifican algunos comportamientos y se destaca que: Al observar las medidas que van tomando el área y el perímetro del rectángulo utilizando geogebra, se puede observar que las medidas del área y el perímetro son máximas cuando el rectángulo inscrito en el círculo es un cuadrado y que la medida de los lados es 4.24. Esta identificación motiva a construir una función para el área y el perímetro, y hacer la validación para el caso general de la conjetura planteada. Solución y validación: La actividad se dirige hacia la construcción mediante nociones de la geometría, una función del área a maximizar, y se aprovecha en este momento para destacar la importancia de conceptos del cálculo, en particular el de derivada y su uso para maximizar o minimizar, como se describe a continuación. Se trabaja en la construcción de la función asociada al área, y se busca la validación desde la matemática de la conjetura que fue producto de hacer acercamientos con el software geogebra. Área máxima Sean b y d las dimensiones del rectángulo El área de del rectángulo es A = b ∙ d Además, b y d son catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa 6, por lo tanto tenemos que: b^2+d^2=6^2 ⇒ d= √(36-b^2 )---(1) Sustituyendo en A obtenemos lo siguiente: A=b ∙ √(36-b^2 ) ⇒ f(b)=b ∙ √(36-b^2 ) Por lo tanto debemos maximizar esta función f´(b)=(-2b^2+36)/√(-b^2+ 36) Procedemos ahora a maximizarla: f´(b)=0 ⇒ (-2b^2+36)/√(-b^2+ 36)=0 ⇒ -2b^2+36=0 ⇒ b =±√(36/( 2))= √36/√2=6/√2=4.2426… De los dos valores obtenidos se descarta el valor negativo, por no tener sentido en este problema. Ahora comprobemos si b= 6/√2 es máximo. f´´(b)=(2b^3-108b)/√(〖(-b^2+36)〗^3 ) ⇒ f´´(6/√2)= (2(6/√2)^3-108(6/√2))/√(〖(-(6/√2)^2+36)〗^3 ) <0 ⇒ 6/√2 Es máximo Entonces, en este caso d= √(36-b^2 )= √(36-(6/√2)^2 ) =6/√2 =4.2426… Por lo tanto las dimensiones corresponden con un cuadrado de lado 6/√2 Perímetro máximo Sean b y d las dimensiones del rectángulo entonces el perímetro del rectángulo es P=2b+2d sustituyendo (1) en P tenemos P=2b+2(√(36-b^2 )) ⇒ f(b)= 2b+2(√(36-b^2 )) Por lo tanto debemos maximizar la función f´(b)=(-2b+2(√(36-b^2 )))/√(36-b^2 ) Luego f´(b)=0 ⇒ (-2b+2(√(36-b^2 )))/√(36-b^2 )=0 ⇒ -2b+2(√(36-b^2 ))=0 ⇒b= ±3√2 De los dos valores obtenidos se descarta el valor negativo, por no tener sentido en este problema ⇒b=3√(2 )= 4.2426 Ahora comprobemos si b= 3√2 es máximo. f´´(b)=72/(-√((36-b^2 )^3 )) ⇒ f´´(3√2)= 72/(-√((36-(3√2)^2 )^3 )) <0 ⇒ b= 3√2 Es máximo. Entonces d= √(36-b^2 )= √(36-(6/√2)^2 ) =6/√2=3√2 =4.2426… Por lo tanto las dimensiones corresponden con un cuadrado de lado 3√2 = 6/√2 Conclusiones A pesar de que se ejemplifica la propuesta con solo un ejemplo, se pudo destacar que el acercamiento hacia el tramiento de los problemas de optimización mediante el uso del software geogebra favorece los procesos de inducción y generalización del conocmiento en este caso de los conceptos fundamentales que permiten el estudiode la variación de las funciones. Con esta propuesta se pretende incidir en la planeación de la enseñanza y en las actividades propias que favorecen el aprendizaje de los conceptos fundamentales del cálculo, entorno al concepto de derivada. Bibliografía Morales, A. (2012). Estrategia metodológica de carácter heurístico para el estudio de las relaciones de medidas geométricas: El caso de áreas y perímetros. Premisa 14(55), 20-31. Morales, A., Locia, E., y Marmolejo, J. (2014). El software GeoGebra: Un recurso heurístico en la resolución de problemas geométricos. Premisa 16(63), 20-28. Morales, A., Locia, E., y Salmeron, P. (2016). Recursos heurísticos para la actividad de enseñanza de las transformaciones geométricas en el nivel preuniversitario. Atenas 3(35), 64-79. Piskunov, N. (2012). Cálculo diferencial e integral. México: Limusa. S.A de C.V