Invariante-j Cuántico, Campos de Clase de Hilbert y Curvas Elípticas Cuasicristalinas

Ponente(s): Timothy Gendron , Carlos Castaño Bernard; Luca Demangos; Pierre Lochak, Éric Leichtnam

El invariante-j cuántico se definió (con Castaño-Bernard) como una función multi-valuada de los numeros reales, que es discontinua y modular (es decir, invariante con respeto a la acción proyectiva-lineal del grupo GL(2,Z)). Si θ es un número cuádratico y real, evidencia experimental (Zagier, Pink) sugiere que el invariante-j cuántico es un conjunto de Cantor. La conjetura principal (con Demangos) es que la esperanza multiplicativa de los valores del invariante-j cuántico genera el campo de clase de Hilbert del campo K generado por θ. Así que la conjetura afirmada daría una solución del duodécimo problema de Hilbert para la familia de extensiones cuadráticas reales de los racionales, análoga al solución dada para extensiones cuadráticas complejas, usando la teoría de multiplicación compleja de curvas elípticas. La conjetura es un teorema para extensiones cuadraticas y reales del campo F(T), F un campo finito (con Demangos). Damos un bosquejo de la demostración del último y indicamos una estrategia para adaptar la demostración al caso de campos numéricos usando una noción cuasicristalina de curva elíptica (con Lochak y Leichtnam).