REDES DE TRANSFORMACIONES CONTRACTIVAS

Ponente(s): Edgardo Ugalde Saldaña

Inspirados en modelos de redes biológicas hemos propuesto y estudiado una clase de sistemas dinámicos sobre gráficas dirigidas. Las variables se corresponden con los vértices de la gráfica y sus valores cambian siguendo una dinámica contractiva que es elegida de entre un conjunto finito de contracciones. La contracción particular que se utiliza en un momento dado para actualizar a una variable es función de los valores de las variables asociadas a vértices vecinos. De esta forma obtenemos una “red de transformaciones contractivas". En esta plática presentaré algunos de los resultados de estos estudio y que agrupo en los tres siguentes temas. Complejidad. La complejidad dinámica es una noción bien conocidad en teoría cualitativa de sistemas dinámicos y mide la proliferación de comportamientos distinguibles en el tiempo. Siguiendo a Kruglikov y Rypdal [2], probamos que la complejidad dinámica de las redes de transformaciones contractivas crece a lo mas subexponencialmente, lo que implica que una órbita típica en una red típica es asintóticamente periódica [2]. A partir de esto probamos también que el atractor global de la red de contracciones es un conjunto compacto totalmente desconectado [1]. A este respecto, en [3] probamos que si la tasa de contracción de una una red de contracciones es suficientemente grande, entonces su complejidad dinámica crece polinomialmente con un grado que depende de la estructura de la gráfica subyacente. Reducibilidad. La contractividad e interconectividad de estos sistemas permite en ciertos casos una reducción en su descripción, circunstancia que hemos estudiado en [4]. En ese artículo demostramos que las órbitas del sistema pueden determinarse asintóticamente a partir de sus proyecciones sobre los estados correspondientes a un subconjunto de vértices a los que llamamos “vértices dominantes". Este subconjunto se puede definir a partir de consideraciones combinatorias. Hemos usado la noción de vértices dominantes como una herramiente para clasificar redes biológicas [5] y en principio estos vértices podrían usarse como sitios estratégicos para controlar la dinámica del sistema. Keywords: Contracciones a trozos, Complejidad Dinámica, Dinámica Simbólica. Referencias [1] E. Catsigeras, P. Guiraud, A. Meyroneinc and E. Ugalde, “On the asymptotic properties of piecewise contracting maps", Dynamical Systems, 31 (2) (2016) 107-135. [4] B. Kruglikov and M. Rypdal, “Entropy via multiplicity", Discrete and Continuous Dynamical Systems A 16 (2) (2006) 395-410. [3] R. Lima and E. Ugalde, “Dynamical complexity of discrete-time regulatory networks", Nonlinearity 19 (1) (2006) 237-259. [4] B. Luna and E. Ugalde, “Dominant vertices in regulatory network dynamics", Physica D 237 (21) (2008) 2685-2695. [5] B. Luna, E. Galán-Vásquez, E. Ugalde and A. Martínez-Antonio, “Structural comparison of biological networks based on dominant vertices", Molecular BioSystems 9 (2013) 1765-1773.