Preservadores lineales

Autor: Gabriel Kantún Montiel
En el análisis matricial a menudo estamos interesados en transformaciones entre subconjuntos de matrices. Por ejemplo, al considerar un sistema de ecuaciones nos gustaría poder usar una transformación que simplifique el sistema. Como los espacios de matrices son espacios lineales, es natural considerar transformaciones lineales. Algunas de las transformaciones que resultan más útiles son aquellas que son sencillas y que preservan en algún sentido las propiedades que nos interesan. El problema de preservadores lineales consiste en caracterizar las transformaciones lineales que dejan invariantes ciertas funciones, subconjuntos, relaciones, etc. Por ejemplo, consideremos el conjunto $M_n$ de matrices complejas $n \times n$ y una transformación $\phi:M_n\rightarrow M_n$ definida por $\phi(A)=MAN$ o por $\phi(A)=MA^tN$ donde $M,N\in M_n$ no son singulares. Es conocido que $\phi$ preserva el rango de una matriz, lo que es sorprendente es que cualquier transformación lineal que preserve el rango de una matriz debe ser de esta forma. En esta plática esbozaremos la historia del problema de preservadores lineales, presentaremos algunos resultados sobre preservadores entre espacios de matrices, entre álgebra de operadores, e incluso entre álgebras de Banach.