Sobre la completaciĆ³n del espacio normado $(C[0,1],\|\cdot\|_1)$.

Autor: Fernando Galaz Fontes
Denotemos por $X_1$ el espacio normado que resulta de considerar en el espacio vectorial formado por las funciones continuas $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, la norma definida por $\|f\|_1 := \int _{[0,1]} |f(x)| dx$. Este espacio normado no es completo y, con base en la integral de Lebesgue, se prueba que el espacio de Banach $L^1([0,1])$ es su completaci\'on. Desafortunadamente, los elementos de $L^1[0,1]$ no son funciones, sino clases de equivalencia de funciones. En esta pl\'atica hablaremos sobre lo anterior, destacando las propiedades que tiene la norma $\|\cdot\|_1$ respecto al orden de funciones y observando que usando medidas es posible dar otra descripci\'on de la completaci\'on de $X_1$.