El Teorema de Existencia, Módulo de Carlitz y Grupos

Autor: Gabriel Daniel Villa Salvador
La Teoría de Campos de Clase trata sobre la clasificación de las extensiones abelianas de un campo local o global. Esta teoría esencialmente consta de dos partes: una Ley de Reciprocidad y un Teorema de Existencia. La parte más obscura de la Teoría de Campos de Clase es el Teorema de Existencia, el cual establece la existencia de cierto campo pero que pocas veces lo podemos ``explicitar'' en el sentido de describirlo por medio de polinomios y de las raíces de estos polinomios. En 1965, J. Lubin y J. Tate usaron grupos formales para explicitar el campo del Teorema de Existencia en el caso de campos locales. El polinomio base del cual se sirvieron es de la forma $f_{\pi}(Z)=\pi Z+Z^q$. En el caso de campos globales, una gran parte del Teorema de Kronecker-Weber en característica $p>0$ se basa en el módulo de Carlitz, el cual está dado por el polinomio $C_T(u)=Tu+u^q$. El parecido entre $f_{\pi}(Z)$ y $C_T(u)$ es evidente. Discutiremos algo sobre esta similitud y algunas otras cosas relacionadas con el Teorema de Existencia.