Descubrimiento del teorema de Pitágoras y su converso en la educación media superior

Autor: Lidia Torres Hernández
Coautor(es): Rodrigo Cambray Núñez
Se reportarán resultados de una investigación educativa con estudiantes de educación media superior sobre cómo lograr que descubran el teorema de Pitágoras y el converso de éste (Proposiciones 47 y 48 del libro I de los Elementos de Euclides). En programas de estudios de matemáticas de instituciones de educación media superior en México se incluye el teorema de Pitágoras. Generalmente se pide que se presenten algunas demostraciones de este teorema, y después que se use para resolver diversos problemas. Pocos de los programas analizados en el desarrollo de esta investigación incluyen el converso del teorema de Pitágoras, y sólo en dos se proporcionan estrategias para que el profesor lo aborde con sus alumnos. Para esta investigación se diseñó y aplicó una intervención didáctica mediante la cual alumnos de dicho nivel educativo plantearon conjeturas, primero, en cuanto a relaciones entre las áreas de cuadrados construidos sobre los lados de triángulos obtusángulos o acutángulos. Utilizaron un geoplano para calcular las áreas y poner a prueba sus conjeturas. Así, para cada triángulo compararon la suma de las áreas de dos cuadrados con la del cuadrado construido sobre el tercer lado. Dos de los resultados que enunciaron fueron los siguientes (en sus propias palabras), que, cabe señalar, son parte de las proposiciones 12 y 13 del libro II de los Elementos de Euclides: 1) “Si el triángulo es obtusángulo, la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños es menor que el área del cuadrado grande”; y 2) "Si el triángulo es acutángulo, la suma de las áreas de dos cuadrados es mayor que el área del tercer cuadrado”. Se mostrará cómo mediante las actividades de la intervención didáctica los alumnos que participaron como sujetos en esta investigación lograron descubrir: i) el teorema de Pitágoras, ii) el converso del teorema de Pitágoras, y iii) teoremas correspondientes a triángulos obtusángulos o acutángulos —proposiciones 1) y 2) anteriores—, así como el converso de cada uno. Vale la pena hacer notar que estos aprendizajes constituyen un rico contexto para el estudio de la ley de cosenos en trigonometría.