Método matricial para el cálculo del espectro discreto de operadores de Schrödinger con interacciones puntuales
Ponente(s): Leticia Olivera Ramírez, Dr. Vladimir S. Rabinovich y Dr. Víctor Barrera-Figueroa
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\author[1]{Leticia Olivera Ramírez}
\author[2]{Vladimir S. Rabinovich}
\author[3]{Víctor Barrera-Figueroa}
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\affil[1]{Instituto Politécnico Nacional, SEPI UPIITA-IPN. Av. Inst. Politécnico Nal. 2580, Col. Barrio la Laguna Ticomán, C.P. 07340, Ciudad de México, MÉXICO.}
\affil[2]{Instituto Politécnico Nacional, Departamento de Telecomunicaciones, SEPI ESIME-IPN. Av. Inst. Politécnico Nal. S/N, Col. Lindavista, C.P. 07738, Ciudad de México, MÉXICO.}
\affil[3]{Instituto Politécnico Nacional, Posgrado en Tecnología Avanzada, SEPI-UPIITA, Av. Inst. Politécnico Nal. 2580, Col. Barrio la Laguna Ticomán, C.P. 07340, Ciudad de México, MÉXICO.}
\affil[ ]{email: leticia032olivera@gmail.com; vladimir.rabinovich@gmail.com; vbarreraf@ipn.mx}
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\begin{document}
\title{Método matricial para el cálculo del espectro discreto de operadores
unidimensionales de Schrödinger con interacciones puntuales}
\maketitle
Consideremos el problema espectral para los operadores unidimensionales
de Schrödinger
\begin{equation}
-\frac{d^{2}}{dx^{2}}u\left(x\right)=\lambda u\left(x\right),\qquad x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ h_{0},h_{1},\ldots,h_{N}\right\} ,\label{eq:1}
\end{equation}
donde las condiciones de interacción de las partículas en los puntos
$h_{i}$ escritas en forma matricial son
\[
\left(\begin{array}{c}
u\left(h_{i}^{+}\right)\\
u^{\prime}\left(h_{i}^{+}\right)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\alpha_{11}^{\left(i\right)} & \alpha_{12}^{\left(i\right)}\\
\alpha_{21}^{\left(i\right)} & \alpha_{22}^{\left(i\right)}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
u\left(h_{i}^{-}\right)\\
u^{\prime}\left(h_{i}^{-}\right)
\end{array}\right),
\]
donde $\varphi\left(h^{-}\right):=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\varphi\left(h-\epsilon\right)$,
$\varphi\left(h^{+}\right):=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\varphi\left(h+\epsilon\right)$
y $\alpha_{jk}^{\left(i\right)}\in\mathbb{C}$. Este problema es una
generalización del problema espectral para los operadores unidimensionales
de Schrödinger
\[
Su\left(x\right)=-\frac{d^{2}u\left(x\right)}{dx^{2}}+V\left(x\right)u\left(x\right),
\]
con potenciales tipo $\delta$ representados por $V\left(x\right)=\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}\delta\left(x-h_{i}\right),$
o potenciales tipo $\delta^{\prime}$ expresados por $V\left(x\right)=\sum_{j=1}^{N}\beta_{j}\delta^{\prime}\left(x-h_{i}\right)$,
que puede representarse como un problema espectral (\ref{eq:1}) con
las matrices $\left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
-\alpha & 1
\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}
1 & \beta\\
0 & 1
\end{array}\right)$, respectivamente.
\medskip{}
En esta charla se presenta el método matricial recursivo propuesto
para el cálculo del espectro discreto del operador de Schrödinger
(\ref{eq:1}).
\end{document}