Método matricial para el cálculo del espectro discreto de operadores de Schrödinger con interacciones puntuales

Autor: Leticia Olivera Ramírez
Coautor(es): Dr. Vladimir S. Rabinovich y Dr. Víctor Barrera-Figueroa
\documentclass[spanish]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[latin9]{inputenc} \usepackage{geometry} \geometry{verbose,tmargin=2.5cm,bmargin=2.5cm,lmargin=2.5cm,rmargin=2.5cm} \pagestyle{empty} \usepackage[active]{srcltx} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsthm} \usepackage{amssymb} \makeatletter %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands. \numberwithin{equation}{section} \numberwithin{figure}{section} \@ifundefined{date}{}{\date{}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands. %Establece los autores del artículo \usepackage[auth-lg]{authblk} \author[1]{Leticia Olivera Ramírez} \author[2]{Vladimir S. Rabinovich} \author[3]{Víctor Barrera-Figueroa} \renewcommand\Authsep{, } \renewcommand\Authands{ y } \affil[1]{Instituto Politécnico Nacional, SEPI UPIITA-IPN. Av. Inst. Politécnico Nal. 2580, Col. Barrio la Laguna Ticomán, C.P. 07340, Ciudad de México, MÉXICO.} \affil[2]{Instituto Politécnico Nacional, Departamento de Telecomunicaciones, SEPI ESIME-IPN. Av. Inst. Politécnico Nal. S/N, Col. Lindavista, C.P. 07738, Ciudad de México, MÉXICO.} \affil[3]{Instituto Politécnico Nacional, Posgrado en Tecnología Avanzada, SEPI-UPIITA, Av. Inst. Politécnico Nal. 2580, Col. Barrio la Laguna Ticomán, C.P. 07340, Ciudad de México, MÉXICO.} \affil[ ]{email: leticia032olivera@gmail.com; vladimir.rabinovich@gmail.com; vbarreraf@ipn.mx} \renewcommand\Affilfont{\small} \makeatother \usepackage{babel} \addto\shorthandsspanish{\spanishdeactivate{~<>}} \begin{document} \title{Método matricial para el cálculo del espectro discreto de operadores unidimensionales de Schrödinger con interacciones puntuales} \maketitle Consideremos el problema espectral para los operadores unidimensionales de Schrödinger \begin{equation} -\frac{d^{2}}{dx^{2}}u\left(x\right)=\lambda u\left(x\right),\qquad x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ h_{0},h_{1},\ldots,h_{N}\right\} ,\label{eq:1} \end{equation} donde las condiciones de interacción de las partículas en los puntos $h_{i}$ escritas en forma matricial son \[ \left(\begin{array}{c} u\left(h_{i}^{+}\right)\\ u^{\prime}\left(h_{i}^{+}\right) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \alpha_{11}^{\left(i\right)} & \alpha_{12}^{\left(i\right)}\\ \alpha_{21}^{\left(i\right)} & \alpha_{22}^{\left(i\right)} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u\left(h_{i}^{-}\right)\\ u^{\prime}\left(h_{i}^{-}\right) \end{array}\right), \] donde $\varphi\left(h^{-}\right):=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\varphi\left(h-\epsilon\right)$, $\varphi\left(h^{+}\right):=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\varphi\left(h+\epsilon\right)$ y $\alpha_{jk}^{\left(i\right)}\in\mathbb{C}$. Este problema es una generalización del problema espectral para los operadores unidimensionales de Schrödinger \[ Su\left(x\right)=-\frac{d^{2}u\left(x\right)}{dx^{2}}+V\left(x\right)u\left(x\right), \] con potenciales tipo $\delta$ representados por $V\left(x\right)=\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}\delta\left(x-h_{i}\right),$ o potenciales tipo $\delta^{\prime}$ expresados por $V\left(x\right)=\sum_{j=1}^{N}\beta_{j}\delta^{\prime}\left(x-h_{i}\right)$, que puede representarse como un problema espectral (\ref{eq:1}) con las matrices $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ -\alpha & 1 \end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc} 1 & \beta\\ 0 & 1 \end{array}\right)$, respectivamente. \medskip{} En esta charla se presenta el método matricial recursivo propuesto para el cálculo del espectro discreto del operador de Schrödinger (\ref{eq:1}). \end{document}