$\mathbb{Z}_k$-Stratifolds

Autor: Arley Fernando Torres Galindo
Coautor(es): Jairo Andres Angel Cardenas. Universidad de Los Andes, Bogotá, Colombia. Carlos Segovia Gonzales. Instituto de matemáticas UNAM, Oaxaca.
\begin{document} \title{$\mathbb{Z}_k$-Stratifolds} \author{ Arley Fernando Torres Galindo \thanks{Esta presentación es financiada por El Fondo de Investigaciones de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Los Andes en la convocatoria 2017-2 \newline af.torres82@uniandes.edu.co}} \maketitle Tomemos una clase de homologia y sobre esta hagamos la siguiente pregunta. ¿Es posible representar esta clase de homologia por media de una aplicación continua de una variedad cerrada y orientable? Esta pregunta fue formulada por N. Steenrod y respondida por R. Thom en su famoso articulo \emph{Quelques proprietes globales des varietes differentiables} \cite{TH}. En este, R. Thom muestra, entre otros resultados, que cualquier clase con coeficientes en $\mathbb{Z}_2$ y un multiplo impar de una clase de homologia con coeficientes en $\mathbb{Z}$ es representable de esta manera. Él tambien encontro una clase de homologia con coeficientes en $\mathbb{Z}$ que no se puede representar en el sentido de Steenrod. \\ Otros modelos geometricos se han propuesto para representar clases de homologia, por ejemplo las $\mathbb{Z}_k$-variedades y los Stratifolds propuestos por D. Sullivan y M. Kreck respectivamente. Los primeros objetos son variedades con frontera y una identificación del espacio que permite obtener una clase fundamental en la homologia con coeficientes en $\mathbb{Z}_k$ \cite{DS}. Los otros objetos son generalizaciones de variedades que tienen estratos suaves y en los cuales es posible usar las herramientas usuales de variedades diferenciables, y con estos M. Kreck construye una teoría de homología llamada \emph{Homology Stratifold} \cite{MK}. En esta teoría las clases se representan mediante aplicaciones continuas de stratifolds orientados y compactos en el espacio que se quiere estudiar.\\ Haciendo uso de estos dos modelos geométricos introducimos espacios que hemos llamado $\mathbb{Z}_k$ Stratifolds los cuales permiten crear una teoría de homología con coeficientes en $\mathbb{Z}_k$.\\ El objetivo de esta charla es presentar los Stratifold, los $\mathbb{Z}_k$-Stratifolds y explicar de que manera estos objetos permiten representar clases de homología con coeficientes en $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}_k$ respectivamente.\\ \begin{thebibliography}{99} \bibitem{CF} P.E Conner y E.E Floyd, \emph{Differentiable Periodic Maps}, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1964 \bibitem{DS} J.W Morgan y D.P Sullivan, \emph{The Transversality Characteristic Class and Linking Cycles in Surgery Theory}, Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 99, No. 3 (May, 1974), pp. 463-544 \bibitem{TH} R, Thom, \emph{Quelques proprietes globales des varietes differentiables} Comment. Math. Helv. 28, 17-86 ,1954 \bibitem{LT} Tu, Loring W, \emph{An Introduction to Manifolds}, 2nd. ed. New York: Springer, 2011. Web. Universitext; Universitext. \bibitem{MK} Kreck, Matthias, \emph{Differential Algebraic Topology : From Stratifolds to Exotic Spheres}, Graduate studies in mathematics, v. 110; 2010, Providence, R.I.: American Mathematical Society. \end{thebibliography} \end{document}