Clases caracteristicas de haces con fibra la botella de Klein

Autor: Cristhian Ernesto Hidber Cruz
Coautor(es): Miguel A. Xicoténcatl Merino
En esta pl\'atica calcularemos la cohomolog\'ia de $B\textsl{Diff}(\mathsf{K})$, el espacio clasificante del grupo de difeomorfismos de la botella de Klein. Para esto, analizamos la sucesi\'on espectral asociada a la fibraci\'on: $$B\textsl{Diff}_{0}(\mathsf{K}) \longrightarrow B\textsl{Diff}(\mathsf{K}) \longrightarrow B(\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}).$$ M\'as a\'un, demostramos que $B\textsl{Diff}(\mathsf{K})\simeq B \mathbb{Z}_{2}\times BO(2).$ Posteriormente consideramos la construcci\'on de Borel: $$E\textsl{Diff}(\mathsf{K}) \times _{\textsl{Diff}(\mathsf{K})} F_{q}(\mathsf{K})/\Sigma_{q}$$ \noindent y probamos que es un espacio $K(\Gamma^{q}(\mathsf{K}),1)$, donde $\Gamma^{q}(\mathsf{K}):=\pi_{0}\textsl{Diff}(\mathsf{K};q)$ es el grupo modular de $\mathsf{K}$ con $q$ puntos marcados. Finalmente, usando el espacio $K(\Gamma^{q}(\mathsf{K}),1)$ calculamos la cohomolog\'ia mod 2 del grupo $\Gamma^{q}(\mathsf{K})$.