Un operador clausura en Top

Autor: Jesús González Sandoval
Coautor(es): Dr. Juan Angoa Amador
Sea $\chi$ una categoría y $\mathcal{M}$ una clase de monomorfismos de $\chi$, se define $\mathcal{M}|_X$ como la familia de elementos en $\mathcal{M}$ con codominio $X$ y para dos elementos $m,n\in \mathcal{M}|_X$ decimos que $n\leq m$ si existe un morfismo $j$ que hace conmutativo el diagrama $$\xymatrix{ M \ar[rr]^j \ar[dr] _{m}& & N \ar[dl]^n\\ & X &}$$ Un operador clausura $C=\left(C_X\right)_{x\in Ob(\chi)}$ es una familia de mapeos $C_X:\mathcal{M}|_X \rightarrow \mathcal{M}|_X $ tal que: \begin{enumerate} \item[(1)] (Extensión) $m \leq c_X(m)$, para todo $m\in \mathcal{M}|_X$; \item[(2)] (Monotonía) Si $m \leq m'$ en $\mathcal{M}|_X$, entonces $c_X(m) \leq c_X(m')$; \item[(3)] (Continuidad) $f(c_X(m)) \leq c_Y(f(m))$ para todo $f:X\rightarrow Y$ morfismo de $\chi$ y para todo $m\in \mathcal{M}|_X$. \end{enumerate} Para la categoría $Top$ consideramos $\mathcal{M}$ la clase de funciones continuas y sobreyectivas. Explicaremos como definir el operador clausura $Kuratowski$ en la categoría $Top$, mediante la clausura topológica. Así mismo presentaremos las categorías $PrTop$ y $FC$, las categorías de espacios pretopológicos y de espacios de convergencia de filtros, que contienen como subcategoría a $Top$, con los operadores clausura $Cech$ y $Katetov$ que son extenciones del operador $Kuratowski$ en las respectivas categorías.