Representación por bloques de inversas generalizadas

Autor: Víctor Manuel Méndez Salinas
Para $A\in \mathbb{C}_r^{m\times n}$ se puede obtener una matriz aumentada $\begin{bmatrix} A & I_m\\ I_n & O \end{bmatrix}$ que puede puede ser transformada mediante operaciones elementales en $\begin{bmatrix} E_r & Q\\ P & O \end{bmatrix} $ donde $E_r \in \mathbb{C}_r^{m\times n}$ es la matriz con $r$ unos en sus primeros $r$ lugares de la diagonal principal y ceros en cualquier otro caso.\\ La inversa generalizada de $A\in\mathbb{C}_r^{m\times n}$ que cumple las ecuaciones de Moore-Penrose (y las de Drazin en el caso cuadrado) se puede representar por bloques como sigue: $$X=P\cdot\begin{bmatrix} X_0 & X_1\\ X-2 & X_3 \end{bmatrix}\cdot Q $$ donde $X_0 \in \mathbb{C}^{r\times r}, \, X_1 \in \mathbb{C}^{r\times (m-r)},\, X_2 \in \mathbb{C}^{(n-r)\times r}$ y $X_3 \in \mathbb{C}_r^{(n-r)\times (m-r)}$ son submatrices apropiadas. En este trabajo presentamos ejemplos del cálculo de la inversa grupo, la inversa Drazin y la inversa de Moore-Penrose mediante la técnica descrita.