Variedades de Stiefel y Grassmann

Autor: Sergio Carrasco Gámez
Consideremos $\mathbb{R}^m$ y colecciones de vectores $\{ v_1, \ldots,v_n \}$ en $\mathbb{R}^m$ que sean ortonormales dos a dos, podemos definir las variedades de Stiefel, $V_n(\mathbb{R}^m)$, como $$V_n(\mathbb{R}^m)=\{(v_1, \ldots,v_n): \langle v_i, v_j \rangle=0 \ o \ 1 \} \subset \underbrace{\mathbb{R}^m \times \cdots \times \mathbb{R}^m}_{n-veces}$$ Las variedades de Grassmann, $G_n(\mathbb{R}^m)$, se definen como sigue: $$G_n(\mathbb{R}^m)=\{ V \subset \mathbb{R}^m : V \ es \ un \ espacio \ vectorial \ con \ dim(V)=n \}$$ Para todo $m$, $V_1(\mathbb{R}^m)$ es homeomorfo a la esfera de dimensión $m-1$, $\mathbb{S}^{m-1}$ y $G_1(\mathbb{R}^m)$ es homeomorfo a $\mathbb{RP}^{m-1}$, el espacio proyectivo real de dimensión $m-1$. Ambas variedades son muy importantes en distintas áreas de las matemáticas ya que poseen propiedades muy importantes, por ejemplo, son compactas y diferenciables. En esta plática abordaremos estas y otras propiedades al estudiar $V_n(\mathbb{R}^m)$ y $G_n(\mathbb{R}^m)$ como espacios orbitales de la acción de un grupo de Lie sobre un espacio topológico.