El teorema de Borsuk-Ulam

Autor: Eybette Mercado Favela
Si $f:\mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^0$ es una función continua, entonces dicha función no puede preservar puntos antípodas, ya que eso implicaría que $\mathbb{S}^0$ es un espacio conexo, dicha afirmación es falsa ya que la esfera de dimensión cero es un espacio discreto con más de un punto. El Teorema de Borsuk-Ulam establece que esta afirmación es falsa para dimensión mayor o igual a uno, es decir, si $n\geq1$ y $f:\mathbb{S}^n \to \mathbb{S}^{n-1}$ es una función continua, entonces $f$ no preserva puntos antípodas. En está plática, se dará la demostración para $n=2$, usando espacios cubrientes, y la acción del grupo fundamental $\pi(X,x_0)$ en las fibras de una función cubriente. Para esto utilizaremos el grupo fundamental de los espacios $\mathbb{S}^n$ y $\mathbb{RP}^n$.