Sobre campos de Cuerpos Convexos Congruentes Tangentes a la n-esfera y una caracterización de la esfera

Autor: Efrén Morales Amaya
Coautor(es): D. Larman, C. A. Lenis Posada
En esta charla, en primer lugar, definiremos el concepto de campo de Cuerpos Convexos Congruentes Tangentes a la n-esfera, como la sección de cierto haz fibrado. Una forma de intuitiva de entender este concepto es preguntarse: ¿bajo que condiciones es posible colocar, de forma continua, un conjunto convexo C, de dimension n, en el n-plano tangente de la n-esfera? En segundo lugar, definiremos un caso particular interesante de la noción anterior, a saber, un Giro completo, derivado de la imposición de una simetría adicional sobre el Campo de cuerpos. H. Hadwiger demostró que si el grupo de simetrías del convexo C es trivial, entonces es imposible que exista un giro completo de C. P. Mani probó que si el grupo de simetrías de C es finito y C da lugar a un campo de cuerpos congruentes a C entonces n es igual a 3 o 7. L. Montejano demostró que si C da lugar a un Giro Completo, entonces C es centralmente simétrico y , a partir de este resultado, obtiene interesantes y profundas caracterizaciones de la esfera relacionadas con una Conjetura de Banach: Si todas las secciones transversales, por un punto, de un cuerpo convexo son afínmente equivalentes, entonces C es un elipsoide. En nuestra investigación, abordamos una variante a la conjetura de Banach, el problema ahora es, en lugar de considerar colecciones de secciones de un convexo dadas por planos concurrentes, considerar secciones dadas por planos tangentes a una esfera. Nos limitamos al caso de dimensiones n congruentes con 1 modulo 4 en virtud de que en estas dimensiones solo existen campos de k-planos tangentes de la n-esfera para k=1, es decir, la n-esfera solo admite campos de líneas.