Control Óptimo en Sistemas Cuánticos de dos niveles. Un enfoque numérico.

Autor: Cutberto Romero Meléndez
Coautor(es): Leopoldo González Santos
El objetivo de este trabajo es aplicar algunos de los métodos geométricos de la Teoría de Control Óptimo al campo de la espectroscopía por Resonancia Magnética Nuclear, concretamente al problema de la determinación del tiempo mínimo requerido para producir un evolución unitaria en el proceso de la transferencia de coherencia en spines nucleares acoplados en experimentos de RMN y eventualmente en el diseño, en número y tiempo de duración, de secuencias de pulsos de radio frecuencia. El enfoque que se le dará a este problema será el del formalismo de la Teoría de Control Geométrico, utilizando el Principio del Máximo de Pontryagin sobre grupos de Lie. Controlar el operador unitario X(t) se traduce en controlar la evolución del estado |ψ(t)⟩. Las transformaciones unitarias X(t) se utilizan para dirigir la transferencia de coherencia en spines nucleares acoplados en experimentos de RMN. Estas transformaciones unitarias generan secuencias de pulsos de radio frecuencia que deberán ser lo más cortos posible, para que se minimicen los efectos de la relajación que se traducen en des-coherencia. Esto lleva al problema de minimizar el tiempo necesario para que se produzca una transformación unitaria en un sistema cuántico. Desde el punto de vista de la Teoría de Control la minimización en el tiempo de una secuencia de pulsos en RMN puede traducirse en el problema geométrico de la minimización de longitudes de trayectorias (geodésicas) en espacios homogéneos. Se diseña un nuevo algoritmo, inspirado en los algoritmos de Rabitz y Krotov, para la solución del problema en forma numérica, se aplica al problema dado y se prueba su convergencia monótona. Finalmente se compara su eficacia con la solución analítica del problema. Se calcula el control óptimo para efectuar una evolución unitaria del spin del estado ½ al estado -½ , en el caso en que se tienen dos controles (campos electromagnéticos externos).