La transformada de Fourier multidimensional para funciones de variación acotada en el sentido de Hardy.

Autor: Oswaldo Flores Medina
Coautor(es): Dr. Francisco Javier Mendoza Torres, BUAP.
Dada una función $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, $n > 1$, su transformada de Fourier, como integral, se expresa por \begin{equation}\label{uno} \widehat{f} ( \omega ) = k \int_{ \mathbb{R}^n } f(x) e^{-i \langle x, \omega \rangle } dx, \end{equation} con $x, \omega \in \mathbb{R}^n $, $\langle x, \omega \rangle $ es el producto escalar euclidiano usual y $k$ es una constante apropiada. Sabemos que la transformada de Fourier está bien definida cuando $f \in L^1 (\mathbb{R}^n )$, pero si no es el caso, puede no estar definida o no tener representación integral. En esta plática mostraremos que la transformada de Fourier está bien definida sobre $\mathbb{R}^n$, para funciones que son de variación acotada en el sentido de Hardy y a la vez son Henstock integrables. Se probará que en esta intersección existen funciones que no pertenecen a $L^1 (\mathbb{R}^n)$, por lo que nuestro resultado amplía el espacio de funciones donde la transformada de Fourier existe y puede ser expresada como una integral multidimensional. Enunciaremos algunas propiedades básicas de esta transformada.