Teoría de Coincidencia para la Existencia de Solución de Ecuaciones Diferenciales

Autor: Alejandro Vázquez Marín
En el presente trabajo se expondrá un teorema que garantiza la existencia de soluciones para algunas clases de ecuaciones diferenciales. El problema se abordará utilizando la teoría de coincidencia, la cual en general estudia el siguiente problema no lineal: dados dos mapeos que van de un primer subconjunto no vacío de un espacio de Banach a un segundo espacio de Banach. Determinar si existe x_0 en el subconjunto de tal modo que las imágenes de ambos mapeos coinciden en este punto. Este problema es una generalización del problema del punto fijo. Además emplearemos el concepto de medida de no compacidad que, a grandes rasgos, se utilizan para saber que tan lejos de ser relativamente compacto se encuentra un conjunto. En concreto utilizaremos la medida de no compacidad de Kuratowski (α), A partir de esta medida diremos que un mapeo T : C -> Y , con C un subconjunto no vacío de X, es condensante si α_Y (T(A)) < α_X(A) para cualquier subconjunto acotado A de C con α_X(A) > 0, donde (X, ‖ ‖_X) y (Y, ‖ ‖_Y ) son espacios normados con medidas de no compacidad α_X y α_Y respectivamente; y será expansivo si ‖T(x) - T(y)‖_Y ≥ ‖x - y‖_X para cualesquiera x, y ϵ C. Para este tipo de operadores mostraremos lo siguiente: Dados (X, ‖ ‖_X) y (Y, ‖ ‖_Y ) espacios de Banach, t : X -> Y un mapeo afin continuo expansivo e invertible y U un subconjunto abierto acotado de X. Sea s : cl(U) -> Y un mapeo continuo condensante, si existe x_0 ϵ U tal que para cualquier x ϵ ∂U, t(x) ≠ λs(x) + (1 - λ)t(x0), ꓯ λ ϵ (0, 1), entonces existe z ϵ U tal que s(z) = t(z). Finalmente, aplicaremos esto para demostrar la existencia de solución para ecuaciones diferenciales del tipo u’(t) = g(t, u(t) + ξ, u’(t)) = f(t), t ϵ (0; 1) a.e. u(0) = 0