Puntos de torsion para una variedad abeliana de tipo III

Autor: Victoria Cantoral Farfán
El teorema de Mordell-Weil afirma que para toda variedad abeliana A, definida sobre un campo de números K, el grupo de puntos K-racionales es de tipo finito. Mas particularmente, nos interesaremos en ésta ponencia en el grupo finito de puntos de torsión A(K)_tors definido sobre K. De manera natural, podemos preguntarnos si es posible acotar |A(L)_tors|, en función del grado [L:K], cuando la variedad abeliana A varia, y el campo de números L queda fijo. Esta pregunta se conoce como la conjetura de la cota uniforme. Por ejemplo, Merel probo en 1994, que es posible obtener dicha cota cuando la variedad abeliana es una curva elíptica utilizando métodos desarrollados por Mazur y Kamienny. Sin embargo, también es interesante preguntarnos si dicha cota existe cuando la extensión L/K varia y la variedad abeliana queda fija. Siguiendo ésta dirección, Hindry y Ratazzi han probado una serie de resultados para ciertas clases de variedades abelianas, y sus resultados dan una cota optima. El objetivo de ésta ponencia será de presentar nuevos resultados en ésta dirección. Nos concentraremos en la clase de variedades abelianas de tipo III y plenamente de tipo Lefschetz, es decir, variedades abelianas tales que su grupo de Mumford—Tate es el grupo de similitudes symplecticas que conmutan con los endomorfismos, y tales que verifican la conjetura de Mumford—Tate. En particular, daremos una lista de variedades abelianas para las cuales sabemos probar que son plenamente de tipo Lefschetz.