Similaridad asintótica en el conjunto de Mandelbrot para IFS

Autor: Diana Patricia Rivera Segundo
Consideremos la familia de IFS $\{ \lambda z, \ \lambda z + 1\}$, donde $\lambda$ es un parámetro en el disco unitario abierto $\mathbb{D} \subset \mathbb{C}$ y sea $A_\lambda$ como el \'unico atractor compacto no vacío, es decir, \begin{center} $A_\lambda = \lambda A_\lambda \cup \lambda A_\lambda + 1$ \end{center} y consideramos \begin{center} $\overline{A}_\lambda = (\lambda \overline{A}_\lambda - 1) \cup ( \lambda \overline{A}_\lambda ) \cup (\lambda \overline{A}_\lambda + 1)$ \end{center} Definimos el conjunto de Mandelbrot para IFS $\mathcal{M}$ como el locus de conexidad, \begin{center} $\mathcal{M} := \{ \lambda \in \mathbb{D} : A_\lambda \ {\rm es \ conexo}\}$ \end{center} En esta plática abordaremos la pruebla de Solomyak sobre la similaridad asintótica entre el conjunto de Mandelbrot $\mathcal{M}$ y $\overline{A}_\lambda$, inspirada en el trabajo de Tan Lei.