Suma de fracciones módulo p.

Autor: César Alfonso Díaz Mijangos
Coautor(es): Dr. Moubariz Garaev
Sea $\mathbb{F}_p$ el campo de clases residuales módulo un primo grande $p$. Consideremos un $\lambda \in \mathbb{F}_p$ arbitrario pero fijo, sean también $\mathcal{I}$ y $\mathcal{J}$ dos intervalos de $\mathbb{F}_p$ tales que $\mathcal{I}\neq \{0\}$ y $\mathcal{J}\neq \{0\}$. En esta plática hablaremos de la solubilidad de la ecuación \begin{equation} \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{y_i}=\lambda, \end{equation} donde $x_i$, $y_i$ son variables que corren en los intervalos $\mathcal{I}$ y $\mathcal{J}$ respectivamente.\par Usando sumas exponenciales Shparlinski \cite{shparlinski} obtuvo una fórmula asintótica para el número de soluciones de congruencias lineales generales. Los resultados de Shparlinski implican en particular que si $n\geq 3$ y $|\mathcal{I}|=|\mathcal{J}|> p^{n/(3n-2)+\epsilon}$, entonces la ecuación (1) tiene solución para cualquier $\epsilon>0$.\par Veremos que utilizando herramientas combiantóricas y analíticas es posible obtener la solubilidad de (1) bajo condiciones más débiles sobre los tamaños de $|\mathcal{I}|$ y $|\mathcal{J}|$. \begin{thebibliography}{20} \bibitem{bourgain-garaev} J. Bourgain, M. Z. Garaev, `Sumsets of reciprocals in prime fields and multilinear Kloosterman sums', (Russian) \textit{Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat.}, \textbf{78} (2014), no. 4, 19-72; translation in \textit{Izv. Math.}, \textbf{78} (2014), no. 4, 656-707. \bibitem{cilleruelo-garaev} J. Cilleruelo, M. Z. Garaev, `Concentration of points on two and three dimensional modular hyperbolas and applications', \textit{Geom. Func. Anal.}, \textbf{21} (2011), 892-904. \bibitem{diaz-garaev} C. A. Díaz, M. Z. Garaev, `Sums of fractions modulo $p$',\textit{Arch. Math.} \textbf{106} (2016), 337-344. \bibitem{garaev-garcia} M. Z. Garaev, V. C. García, `The equation $x_1x_2=x_3x_4+\lambda$ in fields of prime order and applications', \textit{J. Number Theory}, \textbf{128} (2008), 2520-2537. \bibitem{garcia} V. C. García, `Distribution and additive properties of sequences with terms involving sumsets in prime fields', \textit{Integers}, \textbf{12} (2012), Paper no. A41, 8 pp. \bibitem{glibichuk} A. A. Glibichuk, `Combinatorial properties of sets of residues modulo a prime and the Erdos-Graham problem', \textit{Mat. Zametki}, \textbf{79} (2006), 384-395; translation in: \textit{Math. Notes}, \textbf{79} (2006), 356-365. \bibitem{heath-brown} D. R. Heath-Brown, `Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals', \textit{Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.}, \textbf{83} (1978), 357-375. \bibitem{shparlinski} I. E. Shparlinski, `Linear congruences with ratios', \textit{Proc. Amer. Math. Soc.}, \textbf{144 (7)} (2016) 2837-2846. \bibitem{shparlinski2} I. E. Shpalinski, `On a question of Erdos and Graham', \textit{Arch. Math.}, \textbf{78} (2002), no. 6, 445-448. \end{thebibliography}