Suma de fracciones módulo p.
Ponente(s): César Alfonso Díaz Mijangos, Dr. Moubariz Garaev
Sea $\mathbb{F}_p$ el campo de clases residuales módulo un primo grande $p$. Consideremos un $\lambda \in \mathbb{F}_p$ arbitrario pero fijo, sean también $\mathcal{I}$ y $\mathcal{J}$ dos intervalos de $\mathbb{F}_p$ tales que $\mathcal{I}\neq \{0\}$ y $\mathcal{J}\neq \{0\}$. En esta plática hablaremos de la solubilidad de la ecuación
\begin{equation}
\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{y_i}=\lambda,
\end{equation}
donde $x_i$, $y_i$ son variables que corren en los intervalos $\mathcal{I}$ y $\mathcal{J}$ respectivamente.\par
Usando sumas exponenciales Shparlinski \cite{shparlinski} obtuvo una fórmula asintótica para el número de soluciones de congruencias lineales generales. Los resultados de Shparlinski implican en particular que si $n\geq 3$ y $|\mathcal{I}|=|\mathcal{J}|> p^{n/(3n-2)+\epsilon}$, entonces la ecuación (1) tiene solución para cualquier $\epsilon>0$.\par
Veremos que utilizando herramientas combiantóricas y analíticas es posible obtener la solubilidad de (1) bajo condiciones más débiles sobre los tamaños de $|\mathcal{I}|$ y $|\mathcal{J}|$.
\begin{thebibliography}{20}
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