Analizando los tipos de órbita que se generan con una acción de $SO(3)$ sobre espacios de matrices

Autor: José Crispín Alvarado Calderón
En matemáticas siempre es importante contar con ejemplos que permitan comprender las definiciones y conceptos que forman parte de la teoría correspondiente y el caso de los grupos topológicos de transformaciones no es la excepción. Dado un grupo topológico $G$ y $H \leq G$, denotamos por $(H)$ la familia de todos los subgrupos de $G$ que son conjugados con $H$, es decir, $(H)=\{ gHg^{-1} \vert g \in G \}$. El conjunto $(H)$ es llamado un tipo de $G$-órbita (o simplemente un tipo de órbita). En esta platica se analizará una acción del grupo de rotación $SO(3)$ sobre el espacio $X$ conformado por las matrices simétricas de $3 \times 3$ con entradas reales y traza cero, esto con la intención de analizar los tipos de órbita que se generan bajo esta acción y observar que en algunos casos resultan espacios topológicos muy interesantes.