Teoría K y Operadores de Fredholm

Autor: Adriana Escobedo Bustamante
El funtor covariante $\pi_0:Top* \to Set*\$ se define como $\pi_0[X]=[(S^0,*),(X,*)]$. Es bien conocido que para cualquier espacio topológico $X$, el funtor $\pi_0$ está en biyección con las componentes por trayectorias. Sea $F(H)$ el conjunto de todos los operdadores de Fredholm para el espacio de Hilbert separable de dimensión infinita, $F(H)$ es un conjunto abierto en el espacio de los operadores acotados, $B(H)$, por lo tanto, sus componentes por trayectorias coinciden con las componentes conexas. Para $X={pto}$ se tiene que $\pi_0(F(H))$ es un grupo, de manera que $\pi_0(F(H))=[X,F(H)]~Z$, por otro lado, el grupo de Teoría K de un punto es isomorfo al grupo de los enteros. Como $F(H)$ es un semigrupo, entonces para cualquier espacio topológico, el conjunto $[X, F(H)]$ es un semigrupo, por lo tanto es natural preguntarnos para que otros espacios topológicos se cumple que [X,F(H)] es isomorfo al semigrupo de Teoría K, es decir, [X,F(H)]~K(X). En está plática se describirá la relación que existe entre la Teoría K y los operadores de Fredholm entre espacios de Hilbert, este resultado fue probado por Michael Atiyah y por Klaus Jänich de manera independiente.