Equivalencias de Funciones Musicales actuando sobre Acordes

Autor: Javier Castro Salgado
Coautor(es): Javier Castro Salgado, Iván Guadalupe Mendoza Alonzo
Una rama de la teor\'ia moderna de la m\'usica estudia las transformaciones ocasionadas por una funci\'on actuando en un conjunto de eventos musicales (tonos, ritmos, timbres, etc.). \\ Ejemplos de funciones que act\'uan sobre tonos son: Transposici\'on e Inversi\'on (transformaciones similares a las Traslaciones y Reflexiones) que pertenecen al grupo $\mathbb{TI}$, y Paralela, Intercambio de la s\'eptima y Relativa, que conforman al grupo $\mathbb{PLR}$. El presente trabajo se limitar\'a a estudiar estos dos grupos de funciones actuando sobre ciertos conjuntos de tonos, llamados Acordes. Aunque dichos Acordes son conjuntos con una estructura que proviene del sistema diat\'onico, es posible estudiarlos como Conjuntos de Tonos Clase.\\ Un Tono Clase es un representante de todos los tonos que son equivalentes por octava y por enarmon\'ia. Dado que el espacio de una octava se puede dividir en 12 elementos (en una escala crom\'atica bajo temperamento igual), se tiene una partici\'on de 12 Tonos Clase distintos los cuales se designan con notaci\'on en n\'umeros enteros positivos, por lo cual se trabaja en un sistema modular $\mathbb{Z}_{12}$.\\ Una funci\'on del grupo $\mathbb{PLR}$ puede ser calculada por medio de una funci\'on del grupo $\mathbb{TI}$ si primero se establece una correspondencia entre las funciones de ambos grupos. Es decir, si $f \in \mathbb{TI}$ y $g \in \mathbb{PLR}$, se busca establecer una equivalencia de manera que $f = g$. Para ello es necesario primero estudiar cada uno de estos dos grupos y entender las propiedades de las funciones que las hacen equivalentes al actuar sobre Acordes.