Cómo construí **R, ***R, ... *** *R, en 1993

Autor: elías sélem ávila
Coautor(es): Dra. Ma. Otilia Pastrana
COMO CONSTRUÍ **R, ***R, …, ***…*R, en 1993 Una de las condiciones para construir los hiperreales *R, con sucesiones (an) de reales, es que si an → 0, [(an)] sea un infinitesimal; esto se consigue con cualquier ultrafiltro U que contenga al filtro de Frèchet F = {A ⸦ N: Ac finito}; pues para cualquier real positivo r, *r = [(r, r, r,…)] y an → 0, A = {n N: an < r} es cofinito, luego A F ⸦ U, y [(an)] es un infinitesimal. Al intentar construir **R = *R*N/U (con F ⸦ U), se tiene el inconveniente de que sucesiones como (1/n) n *N, satisfacen que 1/n → 0, pero A = {n *N: 1/n < τ} y Ac = { n *N: 1/n ≥ τ}, son del mismo cardinal (א1 , bajo H.C.), si τ es cualquier infinitesimal. Esto impide decidir si A o Ac está en el ultrafiltro U; situación que lleva a que este campo sea isomorfo a *R, fracasando el intento de construir una extensión propia de mayor cardinal. La solución de esta situación, requirió de la construcción de un ultrafiltro U que contenga al filtro A = {A ⸦ *N: Ac acotado}. Así, **R = *R*N/U A, es un campo extensión propia de *R de cardinal א2, mientras la extensión construida usando el filtro de Frèchet no lo es. El hallazgo del filtro coacotado, que además sirve para la construcción de la primera extensión de R a *R y para las de las extensiones **R, ***R, …, n*R, fue hecho con base en una reinterpretación adecuada de los conceptos de infinitésimo, finito e infinito como relativos, a diferencia de su interpretación generalizada como conceptos absolutos. Vg. Un infinitésimo τ de *R, lo es respecto a R, pero en **R, pasa a ser sólo finito, pues existen en **R números entre cero y los hiperreales positivos; situaciones similares se dan para los elementos finitos e infinitos de cualquier n*R. Una vez hecha esta adecuación, queda claro que en cualquier n*N, un subconjunto A es finito sí y solo si es acotado, lo que es la clave d