Que es la teoria geometrica de control

Autor: Felipe Monroy PĂ©rez
Se presenta una visi\'on panoramica de la evoluci\'on de las ideas matem\'aticas en torno a la teor\'ia geom\'etrica de control \'optimo. Se distinguen tres momentos: 1. Las condiciones necesarias de optimalidad del c\'alculo de variaciones cl\'asico, desarrolladas por L. Euler y J.L. Lagrange en el siglo XVII y mas tarde, en la d\'ecada de los 40's del siglo pasado, por C. Caratheodory, O. Bolza, entre otros, y la llamada escuela de Chicago del c\'alculo variacional. 2. La formulacion del Principio M\'aximo desarrollada por la escuela de Steklov lidereada L.D. Pontryagin, en la d\'ecada de los 50's del siglo pasado, y el subsecuente desarrollo del estudio de sistemas de control no lineales. 3. La introducci\'on de la geometr\'ia diferencial en los a\~nos 70's, para el tratamiento de sistemas de control no lineales, destacandose los trabajos de los herederos de la escuela de Pontryagin en la ex-URSS y los trabajos de R.W. Brocket, H. Sussmann y V. Jurdjevic, entre otros, de este lado del Atlantico. Se presenta este desarrollo hist\'orico sucinto para poner en contexto la investigaci\'on actual de los problemas de la geometr\'ia sub-Riemanniana y la difusi\'on hipo-el\'iptica. El problema geod\'esico sub-Riemanianno en una variedad $M$ en la que est\'a dada una distribuci\'on de campos vectoriales $\Delta\subsetneq TM$ y una m\'etrica $\langle\cdot,\cdot\rangle_m$ sobre $\Delta_m,\ m\in M$, consiste en la minimizaci\'on del funcional $$ \int\sqrt{\langle\dot m(t),\dot m(t)\rangle}\ dt, $$ \noindent entre las curvas $t\mapsto m(t)$ que satisfacen $\dot m(t)\in\Delta_{m(t)}$, a.e. Este problema geom\'etrico puede ser formulado como un problema de control \'optimo en $M$. La combinaci\'on de t\'ecnicas de geometr\'ia diferencial y de la teor\'ia de control \'optimo han permitido mostrar resultados importantes. Se presentaran ejemplos concretos en dimensiones bajas en $\mathbb{R}^4$ (geometr\'ia de Engel) y $\mathbb{R}^5$ (geometr\'ia de Cartan).