EL RECUERDO Y LA RECONSTRUCCIÓN DEL SABER: CONSECUENCIAS DE UN APRENDIZAJE CON COMPRENSIÓN

Ponente(s): Asela Carlon Monroy, Sergio Cruz Contreras

Introducción Es lugar común la queja de profesores sobre “lo poco que saben los estudiantes”, “lo mucho y rápido que olvidan”, “la dificultad que muestran al aplicar sus conocimientos”, etc. En Educación Matemática, estas situaciones pueden ser atribuidas a una deficiente comprensión en los aprendizajes matemáticos. En este sentido, el NCTM (2000) afirma que “[a]prender [matemáticas] sin comprensión ha sido un problema persistente desde al menos los 1930” (p. 20). El Estudio Propósito. La finalidad del estudio es indagar, en diez estudiantes de bachillerato, qué recuerdan y cómo llevan a cabo la conversión de representaciones gráfica y algebraica en funciones polinomiales elementales, de la forma donde a, b   , a  0 y n=1,2,3; después de un año de su aprendizaje y haber mostrado dominio sobre ella. Instrumento. El instrumento de indagación es el mismo Cuestionario que se les aplicó, un año atrás, al concluir un proceso de instrucción. Población. Un año escolar después del proceso de instrucción, se contacta a diez estudiantes (de los 64 que mostraron dominio en la citadaconversión) que disponían de un tiempo libre para conceder una entrevista. La situación académica de estos alumnos, al momento de ser entrevistados, en términos generales, es que nueve de ellos, en principio, durante el año escolar que medió entre el término de la instrucción y la entrevista, no volvieron a tener contacto con el contenido matemático en cuestión; las asignaturas que cursaron (Estadística I y II y/o Cibernética y Computación I y II) no están explícitamente relacionadas con el tópico. El otro estudiante, cursó Cálculo I y II y, a decir de él, sí utilizaba, en algunas ocasiones y por iniciativa propia, los conocimientos adquiridos sobre el punto en cuestión como ayuda o soporte en sus clases de Matemáticas. Marco Referencial En lo fundamental, los referentes teóricos que soportan el estudio son el de Hiebert y Carpenter (1992) para la comprensión matemática y, el de Duval (1998 y 1999), para la conversión de los registros de representación. Los primeros sostienen, entre otras cosas, que: i) el conocimiento se representa interna y externamente; ii) para pensar ideas matemáticas, se requiere representarlas internamente y para comunicarlas, representarlas externamente; iii) cuando se construyen conexiones entre representaciones internas se producen redes internas de conocimiento; iv) una idea, procedimiento o hecho matemático es comprendido si es parte de una red interna; v) la forma en la cual un estudiante genera o trata con una representación externa, revela algo de cómo la tiene representada internamente y, vi) una consecuencia de la comprensión es que promueve el recuerdo. Para Duval (1998, 1999) la conversión de las representaciones requiere la identificación de las unidades significantes en el registro de partida y en el de llegada. Sostiene que la discriminación de estas unidades es la condición necesaria para toda actividad de conversión; por lo que es preciso poder explorar todas las variaciones posibles de una representación en un registro y, posteriormente, la observación de las variaciones concomitantes de las representaciones en el otro registro y segmentar las dos representaciones en sus respectivas unidades significantes, de tal manera que puedan ser puestas en correspondencia. Metodología i) 67 estudiantes son expuestos a un proceso de instrucción cuya intención es promover un aprendizaje con comprensión y el dominio de la conversión arriba citada. ii) Con el fin de valorar en qué medida logran el referido dominio, al finalizar dicho proceso, los alumnos enfrentan un Cuestionario que consta de dos partes: la primera de ellas (con 15 preguntas) dedicada al proceso ecuación  gráfica y la segunda (también con 15 preguntas), al proceso gráfica  ecuación. iii) Un año después, se reúne a diez estudiantes (que mostraron dominio en la conversión), para una entrevista. iv) Estos alumnos desconocen la finalidad de la reunión: enfrentarlos al Cuestionario que habían resuelto un año atrás. v) Se trabaja de manera individual con cada alumno. vi) La entrevista consiste, esencialmente, de tres momentos: 1º) aplicar el Cuestionario sobre la conversión de registros de representación; 2º) conceder el tiempo que los estudiantes estimen necesario para que, con sus propios recursos, intenten disipar las dudas que tuvieron al contestar el Cuestionario; 3°) realizar una segunda aplicación del Cuestionario, una vez que los alumnos consideran haber aclarado sus dudas. vii) En los tres momentos, los estudiantes no reciben ayuda alguna del entrevistador; éste, a lo más, en ciertas ocasiones los cuestiona. viii) Fundamentalmente, los datos se obtienen, de las repuestas escritas de los estudiantes y de las notas de los entrevistadores: comentarios o “pensamientos en voz alta” que van realizando los alumnos conforme resuelven el Cuestionario. ix) Los resultados se analizan a la luz de los referentes teóricos: a) las conexiones o asociaciones, en lo general, que establecen los estudiantes entre los registros de representación gráfico y algebraico en las citadas funciones polinomiales; b) el vocabulario y/o notación que reemplazan u omiten los alumnos al enfrentar el mismo Cuestionario que un año atrás; c) la forma en que llevan a cabo, de manera puntual, la conversión de dichas representaciones; d) la manera en que los estudiantes aclaran las dudas que muestran al contestar el Cuestionario. Considerando estos resultados se formulan algunas conclusiones. Algunos Resultados i) Desde una perspectiva global, los diez alumnos recuerdan la esencia de la conversión de las representaciones bajo estudio, después de un año de haberlo aprendido. ii) Un estudiante contesta perfectamente bien las 30 preguntas del Cuestionario desde el primer momento y concluye su entrevista. iii) A medida que los aspectos a recordar se van tornando más específicos, es más difícil que los nueve estudiantes los recuperen de la memoria. Por ejemplo, seis alumnos dudan de si la parábola es “abierta” o “cerrada” cuando . iv) Se detectan 11 formas que los estudiantes utilizan para interpretar los objetos matemáticos que reconocen no recordar. Una de ellas es, por ejemplo, el denominado efecto numérico. Al parecer, parte del razonamiento que llevan a cabo los alumnos que incurren en este efecto, es el siguiente: si cuando , la abertura de la gráfica es “normal”, entonces, si “a” es más chica que uno (0< a <1) , la abertura debe ser “más chica” que la normal; es decir, la gráfica debe ser “cerrada” y recíprocamente. v) Ante la incertidumbre de algunas respuestas, los alumnos son capaces de plantear un procedimiento para zanjarla: tabular y graficar dos o tres relaciones funcionales. vi) Ocho de nueve de los estudiantes, son capaces de “reconstruir”, por si solos, el conocimiento que requieren. Uno, no lo logra. vii) Nueve de los entrevistados, “pierden precisión” en aspectos como el nombre de las curvas y, notación de un punto en el plano. viii) El tiempo promedio que los estudiantes utilizan para recordar y establecer las asociaciones requeridas, “reconstruir” el conocimiento que no recuerdan y contestar, nuevamente, el Cuestionario, es, aproximadamente, 1 hora con 20 minutos. Conclusiones A la luz de los resultados, es posible afirmar que la instrucción a la que fue sometida la población bajo estudio promueve aprendizajes con comprensión; esto juzgado desde la óptica del recuerdo y la capacidad de los estudiantes para “reconstruir” con sus propios recursos los elementos que no logran recuperar de la memoria de manera inmediata. Referencias Duval, R. (1998). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. En F. Hitt (Ed.), Didáctica. Investigaciones en Matemática Educativa II (pp.173-201). México: Grupo Editorial Iberoamérica. Duval, R. (1999). Semiosis y Pensamiento Humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Universidad del Valle y Peter Lang S. A. Trad. Myriam Vega Restrepo, 1999. Santiago de Cali, Colombia. Hiebert, J. & Carpenter, T. P. (1992). Learning and Teaching With Understanding. En D.A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 65-97). New York: Macmillan Publishing Company. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, Va.: NCTM