Eigen-estados de Gamow-Siegert sometidos a interacciones tipo delta de Dirac

Autor: Víctor Barrera Figueroa
\documentclass[spanish]{article} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \makeatletter \newcommand{\address}[1]{ \par {\center #1 \vspace{1.4em} \noindent\par} } \@ifundefined{date}{}{\date{}} \makeatother \begin{document} \title{Eigen-estados de Gamow-Siegert sometidos a interacciones tipo delta de Dirac} \author{V\'ictor Barrera Figueroa (vbarreraf@ipn.mx)} \maketitle \address{Instituto Polit\'ecnico Nacional, Posgrado en Tecnolog\'ia Avanzada, Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingenier\'ia y Tecnolog\'ias Avanzadas (SEPI-UPIITA-IPN)\\ Avenida Instituto Polit\'ecnico Nacional No. 2580, Col Barrio la Laguna Ticom\'an, Gustavo A. Madero, Ciudad de M\'exico, C.P. 07340.} Consideremos el operador de Schr\"odinger libre de unidades \[ \mathcal{H}=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V\left(x\right),\qquad x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ x_{1},x_{2},\cdots,x_{N}\right\} , \] con la funci\'on potencial $V$ definida en t\'erminos de distribuciones de Dirac como \[ V\left(x\right)=-\sum_{n=1}^{N}\alpha_{n}\delta\left(x-x_{n}\right),\qquad\alpha_{n}\in\mathbb{R}, \] donde $x_{n}$ ($n=1,2,\cdots,N$) son puntos de discontinuidad en los cuales se establecen las condiciones en la frontera \begin{alignat*}{1} u\left(x_{n}^{-}\right)-u\left(x_{n}^{+}\right) & =0,\\ u^{\prime}\left(x_{n}^{-}\right)-u^{\prime}\left(x_{n}^{+}\right) & =\alpha_{n}u\left(x_{n}\right). \end{alignat*} Consideremos el problema espectral \[ \mathcal{H}\psi=E\psi \] donde $E$ toma el papel de la energ\'ia de una part\'icula cu\'antica. Si $E>0$, la funci\'on $\psi$ representa los estados de dispersi\'on de la part\'icula sometida al potencial $V$. Un problema m\'as interesante a\'un consiste en considerar que $E\in\mathbb{C}$ y que $\psi$ satisface las condiciones de onda puramente salientes en el infinito \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow-\infty}\left(\psi^{\prime}\left(x\right)+\mathrm{i}\kappa\psi\left(x\right)\right)=0,\\ \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\psi^{\prime}\left(x\right)-\mathrm{i}\kappa\psi\left(x\right)\right)=0, \end{gather*} donde $\kappa$ representa una rama apropiada de $\sqrt{E}$. En esta charla se aborda el análisis de los eigen-estados de Gamow-Siegert y una representaci\'on expl\'icita de la ecuaci\'on caracter\'istica que define las energ\'ias de resonancia de este sistema cu\'antico. \end{document}