Análisis de estabilidad y solución de modelos matemáticos dinámicos de orden fraccional de reactores de polimerización continuos de tanque agitado de polimetacrilato de metilo.

Autor: Luis Felipe Velázquez León
Coautor(es): Guillermo Fernández Anaya Martín Rivera Toledo
En este trabajo de investigación, se estudia la estabilidad asintótica y la solución aproximada de modelos matemáticos adimensionales que gobiernan el comportamiento dinámico de reactores de polimerización de poli(metacrilato de metilo) por lotes y de tanque agitado con mezcla perfecta, que son sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primer orden autónomas. Se consideran los modelos de orden fraccional conmensurados, mediante el uso de las definiciones de derivada fraccional de acuerdo a Caputo y a Grünwald – Letnikov, y orden fraccional distribuido, para dos casos muy particulares, uno para cada tipo de reactor. Como primera aproximación, los modelos dinámicos se linealizan, mediante series de Taylor, en sus puntos de equilibrio y otros puntos de operación. Posteriormente, se les aplican análisis de estabilidad asintóticos y se resuelven analíticamente mediante transformada de Laplace, para poder simularlos y así obtener sus respuestas dinámicas. Las funciones de Mittag – Leffler juegan un papel primordial en las soluciones explícitas de los modelos linealizados. Finalmente, se aplica la definición de derivada fraccional de acuerdo a Grünwald – Letnikov para resolver numéricamente los modelos dinámicos no lineales de ambos tipos de reactores. Para el reactor de polimerización de tanque agitado con mezcla perfecta, los resultados demuestran que, en el estado estacionario físicamente viable, los sistemas dinámicos de primer orden, orden fraccional, y orden fraccional distribuido, este último con una función de densidad generalizada, son asintóticamente estables. Para el reactor de polimerización por lotes, los resultados muestran que, en los puntos de equilibrio, los sistemas dinámicos de primer orden, orden fraccional, y orden fraccional distribuido, son críticamente estable, inestable y asintóticamente estable, respectivamente. Para este reactor, se propone una función de densidad generalizada en las derivadas de orden fraccional distribuido que logra estabilizar a los sistemas dinámicos de primer orden y orden fraccional en sus puntos de equilibrio. Se investiga y discute la congruencia existente entre los resultados arrojados por los análisis de estabilidad asintóticos y los obtenidos a través de las simulaciones. Para los sistemas de orden fraccional, se hace una discusión de resultados desde las perspectivas matemática e ingenieril, en el caso de ésta última, solo para algunos valores de los órdenes arbitrarios de las derivadas de los modelos dinámicos y ciertos intervalos de tiempo. Para el sistema de orden fraccional distribuido del reactor de polimerización de tanque agitado con mezcla perfecta, se hace un análisis de resultados desde los enfoques matemático y aplicativo, mientras que, para los sistemas de orden fraccional distribuido del reactor de polimerización por lotes, se realiza una discusión de resultados únicamente desde la perspectiva matemática. Todos los sistemas dinámicos, resueltos y simulados con ayuda del lenguaje de programación MATLAB®, modelan reactores de polimerización que operan en régimen isotérmico y que consideran únicamente la parte de las reacciones químicas en los coeficientes cinéticos, los cuales juegan un rol fundamental en todas las soluciones de los modelos matemáticos llevadas a cabo.