Un salto al infinito: La conjetura de Rado y propiedades de árbol

Autor: Víctor Torres Pérez
Es bien sabido que el infinito matemático se comporta de manera diferente. Por ejemplo, la suma y multiplicación de dos cardinales infinitos es trivial, ya que es igual al más grande de los dos. Sin embargo, otras operaciones, como la potenciación dio lugar al famoso primer problema de Hilbert de 1900 en París: ¿Hay algún conjunto de tamaño intermedio entre los naturales y los reales, que tienen el tamaño de 2 elevado al cardinal de los naturales? Los trabajos de Gödel y Cohen mostraron que esta afirmación es independiente de los axiomas tradicionales de las matemáticas. Recientemente hemos estudiado un principio combinatorio llamado la Conjetura de Rado. Rado demostró que dada una familia de intervalos de un orden lineal puede ser coloreado de n colores de tal manera que dos intervalos distintos pero del mismo color son disjuntos, si y solamente si toda subfamilia de tamaño n+1 admite una coloración similar. La conjetura de Rado (RC) afirma algo similar para el primer cardinal infinito. Esto es, dada una familia de intervalos de un orden lineal puede ser coloreado con un número infinito contable de colores de tal manera que dos intervalos distintos pero del mismo color son disjuntos, si y solamente si toda subfamilia de tamaño el primer cardinal no numerable admite una coloración similar. Todorcevic demostró que RC es consistente vía un gran cardinal, y además que es necesario asumir un gran cardinal para asumir su existencia. Además RC tiene consecuencias, similar a axiomas modernos de la Teoría de Conjuntos ( por ejemplo MM o PFA), como es acotar el tamaño del continuo, la Hipótesis del Cardinal Singular, ciertos principios de reflexión, etc. Además, RC tiene la particularidad de implicar la negación de MM o PFA. Hablaremos también de trabajos recientes que involucran la relación de RC y su relación con las propiedades del árbol, es decir, cuándo cierto árbol de altura infinita, admite una rama maximal. A pesar de la profundidad de los resultados, su presentación es de fácil enunciación, la cual la accesible para un público amplio, desde estudiantes a mitad de la carrera de matemáticas, hasta investigadores que pudieran estar interesados en el tema.