Una representación analítica de la solución al problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas con coeficientes variables

Autor: Josafath Alfredo Otero Jiménez
Coautor(es): Vladislav V. Kravchenko Sergii M. Torba
Se muestra una nueva representación de la solución al problema de Cauchy para la ecuación \begin{equation} \frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}-q(x)u(x,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)\label{eq} \end{equation} obtenida en forma de serie cuyos coeficientes se obtienen mediante una integración recursiva simple. El potencial $q$ es una función complejo valuada continuamente diferenciable que satisface \begin{equation*} \int_{-\infty}^\infty (1+\abs{x})\abs{q(x)}dx<\infty. \end{equation*} La representación es construida con la ayuda de los operadores de transmutación relacionando \eqref{eq} con la ecuación de calor. Para un potencial como $q$ es bien conocido (véase \cite{marchenko1952}) que existe una función $K(x,s)$ definida en un dominio $0\leq\abs{s}\leq\infty$ continuamente diferenciable con respecto a ambos argumentos tal que la igualdad \begin{equation*} ATv = BTv \end{equation*} es valida para toda función $v(x)\in C(\R)$ donde $A=\partial_x^2-q$, $B=\partial_x^2$ y $T$ tiene la forma de un operador integral de Volterra de segundo tipo \begin{equation*} Tv(x):=v(x)+\int_{-x}^x K(x,s)v(s)ds. \end{equation*} El núcleo de transmutación $K$ satisface un problema de Goursat y en general es desconocido restringiendo la aplicación de los operadores de transmutación. Recientemente en \cite{KNT2016} se descubrió una representación del núcleo en términos de una serie de Neumann de funciones de Bessel expandiendo la implementación de las técnicas de transmutación. Basados en dicha representación y en el comportamiento uniforme del núcleo en la recta (véase \cite{marchenko1952}) se construye la solución $u(x,t)$ como la imagen bajo $T$ de la solución de un problema de Cauchy para la ecuación de calor. El resultado es una serie en términos de integrales que involucran a los polinomios de Legendre y la función exponencial, las cuales pueden ser calculadas de manera recursiva. Las fórmulas obtenidas de la representación son atractivas para la implementación numérica. \begin{thebibliography}{99} \bibitem{KNT2016} V. V. Kravchenko, L. J. Navarro, S. M. Torba, \textit{Representation of solutions to the one-dimensional Schr\"odinger equation in terms of the Neumann series of Bessel functions.} arXiv preprint arXiv:1508.02738, 2015 . \bibitem{marchenko1952} V. A. Marchenko, \textit{Some questions of the theory of onedimensional linear differential operators of the second order. I}, Tr. Mosk. Mat. Obs., 1952, Volume 1, 327–420. \end{thebibliography}