Transporte óptimo y el encaje de Skorokhod

Autor: Oscar Tepoz López
Coautor(es): José Luis Ángel Pérez Garmendia
En 1961 fue resulto y propuesto por primera vez el problema de encaje de Skorkhod, el cual consiste en dar un un movimiento Browniano, $B$, que empieza en cero y una probabilidad $\mu$ sobre la recta real la cual es centrada y tiene segundo momento. Entonces el problema de encaje consiste en construir un tiempo de paro $\tau$ tal que \[\label{sep}\tag{SEP} B_{\tau} \text{ se distribuye con la medida } \mu, \hspace{1cm} \mathds{E}[\tau]<\infty.\] Con el paso de loa años se han ido encontrando nuevas soluciones al problema de encaje. Por otro lado, se han hecho modificaciones al planteamiento del problema para así poderlo considerar como un problema de optimización: Consideremos una base estocástica $\Omega=(\Omega, \mathcal{G}, (\mathcal{G}_t)_{t\geq0}, \mathbb{P})$ la cual es suficientemente rica para que un movimiento Browniano $B$ este bien definido y una variable aleatoria uniformemente distribuida $\mathcal{G}_0$-medible e independiente de $B$. El problema de encaje óptimo de Skorokhod es construir un tiempo de paro $\tau$ sobre $\Omega$ el cual optimice \[\label{optsep}\tag{OptSEP} P_\gamma=\inf\left\{ \mathds{E}\left[\gamma\left((B_t)_{t\leq \tau}, \tau\right)\right]: \tau \text{ solucione \eqref{sep}}\right\}.\] donde $\gamma:A\subseteq \mathcal{C}_0(\mathbb{R}_+)\times \mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}.$ El tema de la plática será plantear algunas soluciones que se tienen para el problema de encaje y algunos resultados que se han obtenido para resolverlo mediante propiedades del problema del transporte. Finalmente se darán algunas aplicaciones en el área de finanzas sobre este problema.