¿Qué tan poco es poco? El precio de un conjunto no Borel medible

Autor: Carlos Uriel Herrera Espinoza
Coautor(es): Dr. Víctor Hugo Vázquez Guevara
En los cursos básicos de Probabilidad es, casi una tradición, el definir medidas de probabilidad en la sigma-álgebra de los conjuntos Borel medibles. Sin embargo, no siempre se exploran las relaciones con otras sigma-álgebras, como por ejemplo, la de los Lebesgue medibles; además no siempre queda tan claro dónde termina una, y dónde comienza otra. Es por esto que, en este trabajo se intenta hacer una discusión asequible para estudiantes de mitad de Licenciatura en Matemáticas, en donde se exploren conjuntos que sean Lebesgue medibles pero que no pertenezcan a la sigma-álgebra de Borel. Se comenzará con la construcción de la famosísima función de Cantor, y se discutirán sus propiedades más interesantes; enseguida se mostrará una propiedad muy importante de los conjuntos de Lebesgue que tienen medida positiva. Finalmente, veremos la existencia de un conjunto que es Lebesgue medible, pero que no forma parte de la sigma-álgebra de Borel, además de exhibir que los Borel medibles nos son suficientes para nuestras medidas de probabilidad.