Raíces enteras de polinomios y el Lema de Hensel

Autor: Pedro Fernández Calles
Dado P ∈ Z[X] un polinomio con coeficientes enteros. Si queremos encontrar las soluciones enteras que satisfacen la ecuación P(X)=0, en ocasiones puede resultar difícil, por lo cual resulta conveniente tener un método para saber si existe o no la solución entera a la ecuación que estamos buscando. Si la ecuación tiene solución, entonces existe solución a la congruencia de la forma P (X) ≡ 0( mod m) , para todo m natural. Con este resultado optimizamos la búsqueda de soluciones enteras en el sentido en que, de no existir solución para la congruencia, entonces no existe solución a la ecuación inicial. En esta plática nos interesamos en el problema inverso, es decir, si tenemos solución a la congruencia módulo m para todo m natural, ¿esto asegura la existencia de una solución en Z? Por el Teorema Chino del Residuo es posible, y resulta más conveniente, tomar m como una potencia de n-ésima de p , donde p es un primo fijo y n algún número natural. El Lema de Hensel para números enteros nos asegura que, de existir una solución para la congruencia con módulo p a la potencia n, bajo ciertas condiciones entonces existe también una solución a la congruencia con módulo p a la potencia n+1 , para algún p fijo. Esto se puede ver como una versión aritmetica del método de Newton-Raphson, y motiva la definición de números p-ádicos. Si el problema planteado lo abordamos en el contexto de los números p-ádicos, el Lema de Hensel nos asegura la implicación inversa, esto quiere decir que, de existir solución para la congruencia P(X) ≡ 0 (mod p pot n), para cada n natural, esto implica la existencia de una solución a la ecuación P(X)=0.